Bilangan rasional

Bilangan rasional (bahasa Inggris: rational number) adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat $a$ dan $b$ , dengan syarat $b$ tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai $\mathbb {Q}$ ^[1], yang berasal dari kata bahasa Jerman, quotient, yang diterjemahkan sebagai "rasio".^[2] Sebagai contoh, ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ adalah bilangan rasional, sedangkan ${\sqrt {5}}$ dan $\pi$ bukan. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan

\mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {a}{b}}\right|a,b,\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}

.

Dengan memisalkan penyebut adalah satu dan pembilang adalah bilangan bulat sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, menjadi himpunan bilangan bulat.^[3]

Dalam teori himpunan, himpunan bilangan rasional adalah subhimpunan dari himpunan bilangan real, yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional.^[4] Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan bilangan bulat.^[5]

Notasi himpunan

Beragam notasi himpunan rasional $\mathbb {Q}$ , yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai $\mathbb {Q} _{+}$ dan bilangan rasional negatif sebagai $\mathbb {Q} _{-}$ ^[6]. Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan aljabar, yang dinotasikan dengan lambang ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ^[7], medan bilangan p-adik, dinotasikan $\mathbb {Q} _{p}$ .^[1]

Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu $\mathbb {Q}$ , juga memiliki kaitan dengan $\mathbb {R}$ , himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan bilangan irasional yang dinotasikan sebagai $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ .^[1]

Sifat aljabar

Berikut adalah sifat-sifat bilangan rasional, antara lain sebagai berikut.

	Penambahan	Perkalian
Ketertutupan	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$ adalah bilangan rasional^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}$ adalah bilangan rasional^[8]
Asosiatif	$\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)+{\frac {p}{q}}={\frac {a}{b}}+\left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)$ ^[8]	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ ^[8]
Komutatif	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}$ ^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {d}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}$ ^[8]
Elemen identitas	${\frac {a}{b}}+{\frac {0}{1}}={\frac {a}{b}}$ ^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{1}}={\frac {a}{b}}$ ^[8]
Elemen invers	${\frac {a}{b}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)=0$ ^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$ ^[8]
Distributif	${\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {p}{q}}$ ^[8]

Pecahan tak tersederhanakan

Meskipun demikian, bilangan rasional dapat berupa pecahan tak tersederhanakan, dengan setiap pembilang dan penyebut tidak dapat disederhanakan lagi. Sebagai contoh, ${\textstyle {\frac {3}{8}}}$ adalah salah satu contoh pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi karena $3$ bukan merupakan faktor dari $8$ .