Integral lipat

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam matematika (khususnya dalam cabang kalkulus multivariabel), integral lipat merupakan integral tentu dari fungsi variabel real banyak, contohnya seperti f(x, y) atau f(x, y, z). Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang bilangan real (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) disebut integral lipat dua, dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) disebut integral lipat tiga.^[1]

Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili luas daerah antara grafik fungsi dan sumbu-x. Mirip dengan sebelumnya, integral lipat dua dari fungsi positif dua variabel mewakili volume daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di bidang Kartesius berdimensi tiga, dengan z = f(x, y)) dan bidang yang memuat domain fungsinya.^[1] Integral lipat akan memberikan hipervolume dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.

Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel n: f(x₁, x₂, ..., x_n) pada domain D biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:^[2]

${\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

Karena konsep antiturunan hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel real, definisi integral taktentu biasanya tidak langsung memperluas ke integral lipat.

Untuk n > 1, misalkan T adalah domain hyperrectangle berdimensi n, dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

Partisi masing-masing interval [a_j, bj) dengan keluarga hingga I_j dari subinterval tak-bertindih i_jα, dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari subrectangle C yang dinyatakan sebagai

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

merupakan partitisi dari T. Dalam artian, subrectangle C_k tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah T. Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan f : T → R adalah fungsi yang didefinisikan oleh T. Misalkan pula partisi C dari T seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga C adalah keluarga dari subrectangle m, dinyatakan sebagai C_m. Secara matematis, ditulis sebagai

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$

Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi (n + 1) dengan batas bawahnya adalah hyperrectangle T berdimensi n dan batas atasnya adalah grafik f berdimensi n. Hal ini dapat ditunjukkan melalui jumlah Riemann:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

dengan P_k adalah titik di C_k dan m(C_k) merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah C_k, juga dikenal sebagai ukuran dari C_k.

Diameter suatu subrectangle C_k merupakan panjang interval paling terbesar, dengan hasilkali Cartesiusnya adalah C_k. Diameter dari partisi T yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari subrectangle dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi C dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah subrectangle m semakin besar, dan ukuran m(C_k) dari masing-masing subrectangle semakin kecil. Fungsi f dikatakan terintegralkan Riemann jika limit

${\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

ada, dengan limitnya mengambil semua partisi T yang mungkin dari diameter setidaknya δ.^[3]

Jika f adalah terintegralkan Riemann, maka S disebut integral Riemann dari f pada T dan dinyatakan sebagai

${\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai

${\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}$

dengan x mewakili (x₁, …, x_n) kelipatan n dan dⁿx merupakan diferensial volume berdimensi n.

Integral Riemann suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi n dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.

Integral Riemann berdimensi n disebut integral lipat.

Ada banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel seperti linearitas, komutitativitas, kemonotonan, dan sebagainya. Sifat yang penting mengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral adalah bebas dari urutan integran terhadap syarat-syarat tertentu. Sifat populer ini dikenal sebagai teorema Fubini.^[4]

Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat. Integral lipat dua dari f di T ditulis

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

untuk kasus ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$, sedangkan integral lipat tiga dari f di T ditulis

${\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

untuk kasus ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$.

Perhatikan bahwa menurut konvensi, integral lipat ganda mempunyai dua tanda integral, sedangkan integral lipat tiga mempunyai tiga tanda integral.

Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi integral teriterasi, sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui teorema Fubini, asalkan fungsinya kontinu. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.

Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:^[1]

Ketika integrannya adalah fungsi konstan c, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari c dan ukuran domain pengintegralan. Jika c = 1 dan domainnya merupakan subdaerah dari R², maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari R³, maka integral memberikan volume daerah.

Contoh. Misalkan f(x, y) = 2 dan

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}$

maka integral darinya adalah

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {luas} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}$

karena menurut definisi, diperoleh:

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {luas} (D).}$

Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah fungsi ganjil terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki nilai mutlak yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah fungsi genap terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.

Contoh 1. Tinjau fungsi f(x,y) = 2 sin(x) − 3y³ + 5 diintegralkan pada domain

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

sebuah cakram berjari-jari 1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.

Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:

${\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$

Fungsi 2 sin(x) adalah fungsi ganjil di variabel x dan cakram T simetri terhadap sumbu-y, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi 3y³ adalah fungsi ganjil dariy, dan T simetri terhadap sumbu-x, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5π.

Contoh 2. Tinjau fungsi f(x, y, z) = x exp(y² + z²) dan ketika mengintegralkan daerah bola berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\},}$

maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu-x untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.

Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel f di suatu wilayah A:

${\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ dan }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}$

Dari sini kami merumuskan integral iterasi

${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$

Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan x dan mengambil y sebagai konstanta, karena ini bukan variabel integrasi. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada y, kemudian diintegrasikan sehubungan dengan y.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}$

Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan y.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}$

Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, x pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan y pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah Teorema Fubini. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}$

Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}$

Hitung

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}$

Domain ini normal dalam kaitannya dengan x dan y sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan D dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:

${\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}$

sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan x = 0, jadi interval dari [a, b] = [0, 1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu x untuk pemahaman visual yang lebih baik).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}$

(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan x sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}$

Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu y - kita dapat menghitung

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}$

dan mendapatkan nilai yang sama.

Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.

• Tabung: Volume tabung dengan tinggi h dan dasar lingkaran jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta h di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

Ini sesuai dengan rumus volume sebuah prisma

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{luas alas}}\times {\text{tinggi}}.}$

• Bola: Volume bola dengan jari-jari R dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}$

• Tetrahedron (segitiga piramida atau 3 - simpleks): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang ℓ sepanjang x-, y- dan z-sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah piramida

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{luas dasar}}\times {\text{tinggi}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}$

Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan integral tidak tepat rangkap dua atau integral tidak tepat rangkap tiga.

• Teorema analisis utama yang menghubungkan beberapa integral:
  • Teorema divergensi
  • Teorema Stokes
  • Teorema Green

• e(Inggris) Weisstein, Eric W. "Multiple Integral". MathWorld. 
• (Inggris) L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4