Dalam geometri, limas persegi[a] (bahasa Inggris: square pyramid) adalah limas yang terdiri atas empat buah segitiga yang kongruen dan memiliki satu buah persegi sebagai alasnya. Limas dengan titik puncaknya tepat berada di atas pusat persegi dan dengan empat muka segitiga sama kaki, maka itu adalah limas persegi siku (right square pyramid); jika tidak, maka itu limas persegi miring (oblique square pyramid). Apabila semua rusuk pada limas persegi siku sama panjangnya, maka limas itu merupakan bangun ruang Johnson pertama, yang dilambangkan .
Limas persegi sudah ditemukan melalui riwayat arsitektur. Contoh bangunan itu adalah piramida yang dibangun oleh Mesir pada zaman kuno, dan beberapa jenis bangunan lain yang menyerupainya. Selain itu, limas persegi juga digunakan dalam struktur molekul piramidal persegi, serta digunakan untuk mengonstruksikan sebuah polihedron dengan menggunakan polihedron yang lain. Banyak matematikawan terdahulu telah menemukan rumus menghitung volumenya dengan cara yang berbeda.
Limas persegi siku
Lmas persegi pada umumnya mempunyai lima buah titik sudut, delapan buah rusuk, dan lima bidang muka. Salah satu muka tersebut adalah alas limas yang berbentuk persegi, sisanya berbentuk segitiga.[5] Alas persegi itu dibentuk oleh empat rusuk yang dihubungkan oleh empat buah titik sudut, dan keempat rusuk itu adalah rusuk alas. Keempat rusuk lainnya yang disebut "rusuk tegak" (lateral edges) bertemu di titik sudut kelima. Titik sudut tersebut adalah titik puncak.[6][7] Limas yang titik puncaknya berada pada garis yang tepat di pusat alas persegi sehingga muka segitiga menjadi sama kaki, disebut limas persegi siku (right square pyramid). Limas dengan dua atau lebih muka segitiga yang tidak sama kaki disebut limas persegi miring (oblique square pyramid).[8][9]
Luas permukaan
Sisi miring (slant height) dari sebuah limas persegi didefinisikan sebagai tinggi dari salah satu segitiga sama kaki. Sisi ini didapatkan menggunakan teorema Pythagoras:
dengan adalah panjang dari alas segitiga, sekaligus salah satu dari rusuk pada alas persegi, dan adalah panjang dari kaki segitiga, sekaligus merupakan sisi tegak dari limas.[10][11] Tinggi dari sebuah limas persegi didapatkan dengan cara yang serupa, yang kemudian jika mensubstitusikan rumus dari sisi miring, menghasilkan:[10]Luas permukaan dari sebuah polihedron (bidang banyak) dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua mukanya. Oleh karena itu, luas permukaan dari sebuah limas persegi siku dapat dinyatakan sebagai , dengan dan masing-masing merepresentasikan luas dari salah satu muka segitiga dan alas perseginya. Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali alas dan kaki, sedangkan luas dari persegi adalah sisinya yang dikuadratkan. Jadi, luasnya dirumuskan sebagai:[12]
Volume
Secara umum, volume dari sebuah limas sama dengan sepertiganya hasil kali luas dari alas dengan tinggi.[13] Untuk limas persegi, rumusnya adalah:[14]
Rumus menghitung volume dari limas persegi sebelumnya sudah ditemukan oleh beberapa matematikawan kuno. Dalam Papirus Matematika Moskwa, bangsa Mesir menemukan rumus untuk menghitung volume dari frustum dengan alasnya yang berupa persegi. Hal ini dapat disimpulkan bahwa mereka sudah mengetahui volume dari sebuah limas persegi, tetapi permasalahannya adalah masih belum diketahui bagaimana cara mereka membuktikannya. Selain penemuan volume dari sebuah limas persegi, permasalahan untuk mencari kemiringan dan tinggi dari limas persegi dapat dijejak pada Papirus Matematika Rhind.[15] Bangsa Babilonia juga menemukan volume dari frustum tersebut, tetapi rumus yang didapatkan itu tidak benar.[16] Salah satu matematikawan asal Tiongkok, Liu Hui, menemukan volume tersebut dengan memotong sebuah bangun ruang berbentuk kotak menjadi beberapa bagian.[17]
Limas persegi siku yang rusuknya sama panjang
Model 3D limas persegi dengan rusuk yang sama panjang
Andaikan semua rusuk pada limas persegi siku memiliki panjang yang sama, semua muka segitiga yang dimiliki menjadi sama sisi, dan muka-muka tersebut merupakan poligon beraturan.[18]Sudut dihedral di antara dua buah segitiga yang berdampingan bernilai , dan sudut di antara alas persegi dan masing-masing segitiga bernilai, .[19] Sebuah polihedron cembung yang hanya memiliki poligon beraturan sebagai mukanya disebut bangun ruang Johnson, dan jenis limas itu dikategorikan sebagai bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan .[20] Sama seperti limas yang lain dengan poligon beraturan sebagai alasnya, limas persegi ini memiliki simetri piramidal. Limas persegi ini memiliki simetri dari grup siklik, yang berarti limas dapat diputar sekali, dua kali, dan tiga kali putaran penuh di sekitar sumbu simetri, garis yang menghubungkan titik puncak hingga ke pusat alas; limas persegi ini memiliki simetri cermin yang relatif dengan setiap bidang yang tegak lurus, yang melalui garis pembagi alas.[19] Limas ini dapat direpresentasikan graf roda (wheel graph) ; lebih umumnya, graf roda merepresentasikan kerangka dari sebuah limas dengan sisi alas.[21]
Penerapan
Piramida Mesir adalah contoh bangunan yang berbentuk limas persegi
Salah satu bangunan piramida Mesoamerika yang mirip seperti bangunan piramida Mesir mempunyai ujung atas yang datar dan tangga pada mukanya.
Dalam arsitektur, piramida yang dibangun di Mesir pada zaman kuno adalah contoh-contoh bangun yang bentuknya mirip seperti limas persegi.[22] Beberapa ahli piramodologi mengemukakan berbagai pendapat untuk desain bangunan piramida Giza, di antaranya teori yang melibatkan segitiga Kepler dan rasio emas. Akan tetapi, banyak ahli modern lebih mendeskripsikannya dengan menggunakan perbandingan bilangan bulat supaya lebih konsisten dengan pengetahuan matematika dan proporsi Mesir pada masa itu.[23][24][25][26]. Piramida Mesoamerika juga merupakan bangun kuno yang mirip seperti dengan milik Mesir, tetapi yang membedakannya adalah bahwa piramida Mesoamerika memiliki ujung atasnya yang datar serta terdapat tangga pada mukanya.[27][28] Selain itu, terdapat bangun modern yang menyerupai piramida Mesir, yakni Louvre Pyramid dan hotel Luxor Las Vegas.[29][30]
^Sebutan lainnya adalah limas segiempat.[2] Akan tetapi, segiempat mengacu pada bangun datar umum yang memiliki empat sisi dan empat sudut. Persegi adalah kasus spesial dari segiempat: sebuah segiempat dikatakan persegi jika semua sisi dan sudut yang dimilikinya sama besarnya.[3][4]
^[books.google.com/books?id=w2sYEAAAQBAJ&pg=PA127 Buku Ajar Geometri dan Pengukuran Berbasis Pendekatan Saintifik] Periksa nilai |url= (bantuan). Bening Media. 2020.
^Amin, M. Mustaghfirin (2014). Aircraft Drawing & CAD(PDF). Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Lihat di Aircraft Drawing & CAD – Sm. 428.
^Wagner, Donald Blackmore (1979). "An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D.". Historia Mathematics. 6 (2): 164–188. doi:10.1016/0315-0860(79)90076-4.
^Herz-Fischler, Roger (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. ISBN0-88920-324-5. Buku ini secara keseluruhan menjelaskan banyak teori-teori alternatif mengenai bentuk piramid ini. Lihat Bab 11, "Kepler triangle theory", hlm. 80–91 untuk penjelasan lebih lanjut mengenai segitiga Kepler, dan hlm. 166 untuk kesimpulan bahwa teori segitiga Kepler dapat dieliminasi melalui prinsip yang berbunyi "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." [Sebuah teori harus disesuaikan dengan pengetahuan matematika yang semestinya diketahui oleh bangsa Mesir kuno.] Lihat catatan 3, hlm. 229 untuk riwayat mengenai karya Kepler dengan segitiga tersebut.
^Rossi, Corinna (2004). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. hlm. 67–68. there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ...convergence to , and itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources [tidak ada bukti langsung dalam sumber matematika bangsa Mesir mengenai perhitungan aritmetika atau konstruksi geometris yang dapat digolongkan sebagai Golden Section ... yang konvergensi menuju , dan itu sendiri sebagai bilangan, tidak ada kaitannya dengan sumber matematika Kerajaan pada Abad Pertengahan yang masih ada]; lihat pula pembahasan lebih lanjut mengenai banyaknya teori-teori alternatif tentang bentuk bangunan dan arsitektur bangsa Mesir, hlm. 7–56
^Markowsky, George (1992). "Misconceptions about the Golden Ratio"(PDF). The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. JSTOR2686193. Diarsipkan(PDF) dari versi asli tanggal 11 Desember 2020. Diakses tanggal 29 Juni 2012. It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of much less incorporated it in their buildings [Tidak dijelaskan bahwa bangsa Mesir mengetahui keberadaan , yang tidak ada keterkaitannya dengan bangunan itu.]
^Takacs, Sarolta Anna; Cline, Eric H. (2015). The Ancient World. Routledge. hlm. 16. ISBN9781317458395. Diarsipkan dari versi asli tanggal 17 November 2023. Diakses tanggal 20 November 2023.