Dalam matematika, aljabar asosiatif matriks riil 2 × 2 dilambangkan dengan
. Dua matriks
dan
dalam
memiliki sebuah jumlah
diberikan oleh penjumlahan matriks. Hasil kali matriks
dibentuk dari produk dot dari baris dan kolom dari faktornya melalui perkalian matriks. Untuk
![{\displaystyle q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbf1b2c9835196cf676570b6394d909bdc342c1)
misalkan
![{\displaystyle q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dc9c9615cdaf2a984984536ead741c68dd5b34)
Maka,
, dimana
adalah matriks identitas 2 × 2. Bilangan real
disebut determinan
. Ketika
,
adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, dan kemudian
.
Kumpulan dari semua seperti matriks yang dapat dibalik merupakan grup linear umum
. Dalam istilah aljabar abstrak,
dengan terkait operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sebuah gelanggang, dan
adalah grup satuan tersebut.
juga sebuah ruang vektor empat-dimensi, jadi ini ditinjau sebagai aljabar asosiatif.
Matriks real 2 × 2 ada di korespondensi satu-satu dengan pemetaan linear dari sistem koordinat Kartesius dua dimensi menjadi dirinya sendiri oleh aturan
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0d580a2075862d8f76f85f93a5f76db9833a45)
Bagian selanjutnya memperlihatkan
adalah sebuah gabungan tampang lintang planar yang termasuk sebuah garis riil.
adalah isomorfis gelanggang ke kuaternion terbagi, dimana ini adalah sebuah gabungan yang mirip namun dengan himpunan indeks yaitu hiperbolik.
Profil
Dalam
, perkalian dengan bilangan riil dari matriks identitas
dapat dianggap sebuah garis real. Garis real ini adalah tempat dimana semua subgelanggang komutatif datang bersama.
Misalkan
dimana
. Maka
adalah sebuah subgelanggang komutatif dan
dimana gabungan pada semua
seperti
.
Untuk mengidentifikasi
, pertama kuadratkan matriks umum:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c43d119cf13791751e9347e0c7efd5f54f56d8)
Ketika
, kuadrat ini adalah sebuah matriks diagonal.
Jadi salah satunya mengasumsikan
ketika mencari untuk
untuk membentuk subgelanggang komutatif. Ketika
, maka
, sebuah persamaan menggambarkan sebuah paraboloid hiperbolik dalam ruang parameter
. Seperti sebuah
berfungsi sebagai sebuah satuan khayal. Dalam kasus ini
isomorfik dengan medan bilangan kompleks (biasa).
Ketika
,
adalah sebuah matriks involutori. Maka
, juga memberikan sebuah paraboloid hiperbolik. Jika sebuah matriks adalah sebuah matriks idempoten, ini pasti terletak pada
dan dalam kasus ini
isomorfik dengan gelanggang bilangan kompleks terbagi
Kasus dari sebuah matriks nilpoten,
, muncul ketika hanya salah satu dari
dan
tak nol, dan subgelanggang komutatif
kemudian sebuah salinan dari bidang bilangan dual.
Ketika
dikonfigurasi ulang dengan sebuah penukaran basis, profil ini berubah menjadi profil kuaternion terbagi dimana himpunan akar kuadrat
dan
mengambil sebuah bentuk simetris sebagai hiperboloid.
Pemetaan ekui-areal
Pertama, ubah satu vektor diferensial ke yang lainnya:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2e35fe6c9df4ae7f12dd6f78928d0cad5e21eb)
Luas-luas diukur dengan densitas
, 2 bentuk diferensial yang melibatkan penggunaan aljabar eksterior. Densitas yang diubah tersebut adalah
![{\displaystyle {\begin{aligned}du\wedge dv&=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&=(ps-qr)\ dx\wedge dy\\&=\det(g)\ dx\wedge dy\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecb94d9da3a6e3ae8f658716e538dcdf7d54894)
Demikian pemetaan ekui-areal diidentifikasi dengan
(lihat SL2(R)), grup linear khusus. Diberikan profil di atas, setiap
terletak dalam sebuah subgelanggang komutatif
mewakili sebuah tipe bidang kompleks menurut kuadrat dari
Karena
, salah satu dari tiga alternatif berikut terjadi:
dan
ada pada sebuah lingkaran rotasi Eukildes; atau
dan
ada pada sebuah hiperbola pemetaan apit, atau
dan
ada pada sebuah garis pemetaan geser.
Menulis mengenai pemetaan afin planar, Rafael Artzy membuat sebuah trikotomi planar yang serupa, pemetaan linear dalam bukunya Linear Geometry (1965).
Fungsi matriks real 2 × 2
Subgelanggang komutatif
menentukan teori fungsi; khususnya tiga tipe subbidang memiliki struktur aljabar kepunyaan mereka yang menetapkan nilai ekspresi aljabar. Pertimbangan fungsi akar kuadrat dan fungsi logaritma tersebut berfungsi untuk mengilustrasikan batasnya tersirat oleh sifat-sifat khusus setiap tipe subbidang
yang digambarkan di profil di atas. Konsep komponen identitas dari grup satuan
mengarah ke penguraian polar elemen dari grup satuan:
- Jika
, maka
.
- Jika
, maka
atau
.
- Jika
, maka
atau
atau
atau
.
Dalam kasus pertama
. Dalam kasus bilangan dual
. Terakhir, dalam kasus bilangan kompleks terbagi terdapat empat komponen dalam grup satuan. Komponen identitas berparameter oleh
dan
.
Sekarang
terlepas dari subbidang
, tetapi argumen dari fungsi harus diambil dari komponen identitas grup satuannya. Setengah bidang hilang dalam kasus dari struktur bilangan dual, tiga per empat dari bidang harus dikecualikan dalam kasus dari struktur bilangan kompleks terbagi.
Dengan cara yang sama, jika
adalah sebuah elemen dari komponen identitas dari grup satuan dari sebuah bidang yang terkait dengan matriks 2 × 2 dari
, maka fungsi logaritma tersebut menghasilkan sebuah nilai
. Domain dari fungsi logaritma tersebut mendapat batasan yang sama seperti halnya fungsi akar kuadrat yang digambarkan di atas, setengah atau tiga perempat
harus dikecualikan dalam kasus
atau
.
Teori fungsi yang lebih lanjut dapat dilihat di artikel fungsi kompleks untuk struktur
, atau di artikel variabel motor untuk struktur kompleks terbagi.
Matriks real 2 × 2 sebagai bilangan kompleks
Setiap matriks real 2 × 2 dapat diartikan sebagai salah satu dari tiga bilangan kompleks (yang disamaratakan[1]): bilangan kompleks standar, bilangan dual, dan bilangan kompleks terbagi. Di atas, aljabar matriks 2 × 2 diprofilkan sebagai sebuah gabungan bilangan kompleks, semua membagi sumbu real yang sama. Bidang-bidang ini diperkenalkan sebagai subgelanggang komutatif
. Salah satunya dapat menentukan bliangan matriks yang mana sebuah matriks 2 × 2 yang diberikan milik sebagai berikut dan menggolongkan jenis bilangan kompleks yang bidang tersebut mewakili.
Anggap matriks 2 × 2
![{\displaystyle z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea55eedaeefef44a7c687027654ac2138eed7ed5)
Bilangan kompleks
yang berisi
ditemukan sebagai berikut.
Seperti yang disebutkan di atas, kuadrat dari matriks
adalah diagonal ketika
. Matriks
harus diekspresikan sebagai jumlah sebuah perkalian dari matriks identitas
dan sebuah matriks dalam hiperbidang
. Memproyeksikan
secara alternatif ke subruang-subruang
ini menghasilkan
![{\displaystyle z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2158f98c027f9f23cafd5d3ada64f3c73380b84)
Selanjutnya,
![{\displaystyle n^{2}=pI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf32c9100372ba45cce9f440662c15c5d1985c84)
dimana
![{\displaystyle p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e41930454940d181172bb555a6aeee00623cdb7)
Sekarang
merupakan salah satu dari tiga tipe bilangan kompleks:
Misalkan
. Maka
.
![{\displaystyle z=xI+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924a7d41e319b547b5a8ff38f51bf994bfa3873b)
Misalkan
. Maka
.
Dengan cara yang sama, sebuah matriks 2 × 2 dapat juga diekspresikan dalam koordinat polar dengan peringatan bahwa terdapat dua komponen terhubung dari grup satuan dalam bidang bilangan dual, dan empat komponen dalam bidang bilangan kompleks terbagi.
Grup proyektif
Sebuah matriks real 2 × 2 yang diberikan dengan
bertindak pada koordinat projektif
dari garis projektif real
sebagai sebuah transformasi pecahan linear:
![{\displaystyle [x:y]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+by:\ cx+dy]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44793fc8f720bd28eb8e46b8f944c09ec49b119e)
Ketika
![{\displaystyle cx+dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b71527157b4b55e2bf0c5f2b3cbce4c73b6b2796)
, titik gambar tersebut adalah
titik di takhingga, sebaliknya
![{\displaystyle [ax+by:\ cx+dy]\ \thicksim \left[{\frac {ax+by}{cx+dy}}:\ 1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d4950e7315c78cb16676fa25de039aca3df605)
Daripada bertindak pada bidang tersebut sebagai dalam seperti di bagian atas, sebuah matriks bertindak pada garis projektif
, dan semua matriks sebanding bertindak dengan cara yang sama.
Misalkan
. Maka
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02bd7ffdd163b16d5704d762904f12b0b93973a)
Aksi dari matriks ini pada garis projektif real tersebut adlaah
karena koordinat projektif, sehingga aksi tersebut adalah pemetaan identitas pada garis projektif real. Oleh karena itu
dan
bertindak sebagai invers perkalian.
Grup projektif tersebut dimulai dengan grup satuan
dari
, dan kemudian menghubungkan dua elemen jika mereka sebanding, karena aksi sebanding pada
identik:
(lihat PGL(2,R)) dimana
menghubungkan matriks sebanding. Setiap elemen dari grup linear projektif
adalah sebuah kelas kesetaraan dibawah
dari matriks real 2 × 2 sebanding.
Referensi
- ^ t Sobczyk (2012). "Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers". New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of
- Rafael Artzy (1965) Linear Geometry, Chapter 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field, hlm. 94, Addison-Wesley.
- Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", ditemukan di
- Svetlana Katok (1992) Fuchsian groups, hlm. 113ff, University of Chicago Press ISBN 0-226-42582-7 .
- Garret Sobczyk (2012). "Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers". New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8384-9.