Teorema Newton mengenai segiempat

Dalam geometri Euklides, teorema Newton berbunyi bahwa setiap segiempat garis singgung terkecuali untuk belah ketupat, pusat titik lingkaran dalam terletak pada garis Newton.

Misalkan ${\displaystyle ABCD}$ adalah segiempat garis singgung dengan paling banyak satu pasang sisi yang sejajar. Selanjutnya, misalkan ${\displaystyle E}$ dan ${\displaystyle F}$ adalah titik tengah garis diagonalnya ${\displaystyle AC}$ dan ${\displaystyle BD}$, dan misalkan ${\displaystyle P}$ adalah titik pusat lingkaran dalam. Maka, titik ${\displaystyle P}$ berada di garis Newton, yaitu garis ${\displaystyle EF}$ yang menghubungkan titik tengah garis diagonal.^[1]

Teorema Newton dapat dibuktikan dengan mudah melalui teorema Anne, dengan memandang bahwa jumlah dari panjang dari sisi yang berhadapan di dalam segiempat garis singgung adalah sama (sesuai dengan teorema Pitot). Menurut teorema Anne, jumlah dari luas segitiga yang berhadapan ${\displaystyle PAD}$ dan ${\displaystyle PBC}$ sama dengan jumlah dari luas segitiga yang berhadapan ${\displaystyle PAB}$ dan ${\displaystyle PCD}$, dan memperlihatkan hal tersebut sudah cukup untuk memastikan bahwa ${\displaystyle P}$ terletak pada garis ${\displaystyle EF}$. Misalkan ${\displaystyle r}$ adalah jari-jari lingkaran dalam, maka ${\displaystyle r}$ juga merupakan garis tinggi dari semua keempat segitiga tersebut.^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)&={\frac {1}{2}}ra+{\frac {1}{2}}rc={\frac {1}{2}}r(a+c)\\&={\frac {1}{2}}r(b+d)={\frac {1}{2}}rb+{\frac {1}{2}}rd\\&=A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD).\end{aligned}}}$$

• Newton’s and Léon Anne’s Theorems di cut-the-knot.org