مبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)

  لمعانٍ أخرى، طالع مبرهنة لاغرانج (توضيح).

البنية الجبرية ← نظرية الزمر نظرية الزمر
المفاهيم الأساسية زمرة جزئية زمرة جزئية نظامية زمرة خارج القسمة (نصف-)جداء مباشر تشاكل الزمر نواة صورة مجموع مباشر جداء إكليلي بسيطة منتهية غير منتهية متصلة مضاعفة جمعية دائرية أبيلية زوجية ذات قوة عادمة قابلة للحلحلة فعل مسرد مصطلحات نظرية الزمر قائمة مواضيع نظرية الزمر
الزمر المنتهية تصنيف الزمر المنتهية البسيطة دائرية متناوبة نوع لي متفرقة مبرهنة كوشي مبرهنة لاغرانج مبرهنات سيلو مبرهنة هال زمرة-p زمرة أبيلية ابتدائية زمرة فروبنيوس مضاعف شور زمرة متناظرة Sn زمرة كلاين رباعية العناصر V زمرة زوجية Dn زمرة كواتيرنيون Q زمرة ثنائية الحلقات Dicn
الزمر المتقطعة الشبكات الأعداد الصحيحة (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) زمرة حرة الزمر المعيارية PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) زمرة حسابية شبكة زمرة زائدية
زمر طوبولوجية ولي ملف لولبي دائرة خطية عامة GL(n) خطية خاصة SL(n) متعامدة O(n) إقليدية E(n) متعامدة خاصة SO(n) وحدوية U(n) وحدوية خاصة SU(n) تماسكية Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 لورنتز بوانكاريه مطابقة تماثل تفاضلي حلقة زمر لي لانهائية الأبعاد O(∞) SU(∞) Sp(∞)
الزمر الجبرية زمرة جبرية خطية زمرة اختزالية تشكيلة أبيلية منحنى إهليلجي
ع ن ت

في نظرية الزمر، مبرهنة لاغرانج (بالإنجليزية: Lagrange's theorem)‏ هي مبرهنة تنص على أنه إذا كانت G زمرة منتهية وH زمرة جزئية من G فإن رتبة H (أي عدد العناصر الموجودة فيها) قاسم لرتبة G.^[1][2][3] سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات جوزيف لاغرانج.

المجموعات المشاركة من جهة اليسار ل H في G هن أصناف تكافئ لعلاقة تكافئ ما معرفة علي G.

لتكن علاقة التكافؤ المعرفة كما يلي :

xRy يكافئ x-y ينتمي إلى H

نبين أن عدد عناصر أصناف H+x لها نفس عدد عناصر H. ثم نستنتج أن عدد عناصر الزمرة الجزئية H يقسم عدد عناصر الزمرة G. يسمى هذا الخارج مؤشر H.

${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

من بين نتائج هذه المبرهنة كون رتبة كل عنصر a من زمرة منتهية (علما أن رتبة عنصر ما من زمرة هو أصغر عدد k حيث a^k = e وحيث e هو العنصر المحايد للزمرة) تقسم رتبة الزمرة ذاتها. يرجع ذلك إلى كون رتبة العنصر a تساوي رتبة الزمرة الدائرية التي ولدها a. إذا كان عدد عناصر الزمرة هو n فإنه ينتج ما يلي:

${\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}}$

قد تستعمل هذه النتيجة من أجل البرهان على مبرهنة فيرما الصغرى كما على تعميمها والمتمثل في مبرهنة أويلر. تبين هذه المبرهنة أيضا أن كل زمرة عدد عناصرها عدد أولي هي زمرة دائرية وبسيطة.

تثير مبرهنة لاغرانج السؤال العكسي والمتمثل فيما يلي : هل هناك من زمرة جزئية من زمرة منتهية ما، حيث رتبة الزمرة الجزئية تقسم رتبة الزمرة الكلية ؟ الجواب على هذا السؤال هو النفي. بأخذ زمرة منتهية ما G، وباعتبار عددٍ d قاسما لرتبة G، لا توجد حتما زمرة جزئية من الزمرة G، رتبتها هي d. أصغر مثال على ذلك الزمرة A₄ (الزمرة المتناوبة من الدرجة الرابعة).

انظر إلى زمرة قابلة للحلحلة وإلى مبرهنة كوشي وإلى مبرهنة سيلوف.

برهن كارل فريدريش غاوس على مبرهنة لاغرانج في الحالة الخاصة المتعلقة ب ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}$، الزمرة الجدائية للأعداد الصحيحة غير المنعدمة بتردد p، حيث p عدد أولي. نشر ذلك في كتابه استفسارات حسابية في عام 1801. في عام 1844، برهن أوغستين لوي كوشي على مبرهنة لاغرانج عندما يتعلق الأمر بالزمر المتماثلة S_n.

في عام 1861، برهن كامي جوردان على مبرهنة لاغرانج في الحالة العامة المتعلقة بزمر التبديلات.