في الميكانيكا الكلاسيكية ، تهتم معادلات نيوتن-أويلر بوصف الحركة الدورانية لجسم جاسئ (جسم صلب متناهي الأبعاد، تهمل في التشوهات)[1] [2]
[3] [4] [5]
تجمع معادلات نيوتن أويلر قوانين أويلر لحركة جسم صلب في معادلة واحدة من 6 عناصر، بوضع العناصر في صفوف وأعمدة المصفوفة . هذه القوانين تربط انتقال مركز ثقل الجسم الصلب عند تعرضة لقوى وعزم (أو أكثر من عزم ).
مركز الثقل
في النظام الإحداثي ، يمكن تحديد موضع مركز الثقل لجسم ما باستخدام المعادلة التالية:
(
F
τ τ -->
)
=
(
m
I
3
0
0
I
c
m
)
(
a
c
m
α α -->
)
+
(
0
ω ω -->
× × -->
I
c
m
ω ω -->
)
,
{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}
حيث:
F = هي القوى الكلية المؤثرة على مركز ثقل الجسم.
m = كتلة الجسم.
I 3 = مصفوفة وحدة 3×3
a cm = تسارع مركز الثقل .
v cm = سرعة مركز الثقل .
τ = العزم الكلي المؤثر على مركز الثقل .
I cm = عزم القصور الذاتي لمركز الثقل .
ω = السرعة الزاوية للجسم.
α = التسارع الزاوي للجسم.
الإسناد
في النظام الإحداثي ، عند وجود نقطة P على الجسم غير متزامنة مع مركز الثقل ، تكون المعادلات أكثر تعقيدا:
(
F
τ τ -->
p
)
=
(
m
I
3
− − -->
m
[
c
]
× × -->
m
[
c
]
× × -->
I
c
m
− − -->
m
[
c
]
× × -->
[
c
]
× × -->
)
(
a
p
α α -->
)
+
(
m
[
ω ω -->
]
× × -->
[
ω ω -->
]
× × -->
c
[
ω ω -->
]
× × -->
(
I
c
m
− − -->
m
[
c
]
× × -->
[
c
]
× × -->
)
ω ω -->
)
,
{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}
حيث c هي مكان مركز تقل الجسم في الحالة العادية.
[
c
]
× × -->
≡ ≡ -->
(
0
− − -->
c
z
c
y
c
z
0
− − -->
c
x
− − -->
c
y
c
x
0
)
[
ω ω -->
]
× × -->
≡ ≡ -->
(
0
− − -->
ω ω -->
z
ω ω -->
y
ω ω -->
z
0
− − -->
ω ω -->
x
− − -->
ω ω -->
y
ω ω -->
x
0
)
{\displaystyle [\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)}
تعتبر هاتين المصفوفتين مصفوفة متماثلة منحرفة .
يمثل الطرف الأيسر للمصفوفة مجموع القوى والعزوم المؤثرة على الجسم.
يتم التعبير عن القوى الأساسية بالمصفوفة التالية:
(
m
I
3
− − -->
m
[
c
]
× × -->
m
[
c
]
× × -->
I
c
m
− − -->
m
[
c
]
× × -->
[
c
]
× × -->
)
,
{\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}
بينما يتم التعبير عن القوة الوهمية بالمصفوفة التالية:[6]
(
m
[
ω ω -->
]
× × -->
[
ω ω -->
]
× × -->
c
[
ω ω -->
]
× × -->
(
I
c
m
− − -->
m
[
c
]
× × -->
[
c
]
× × -->
)
ω ω -->
)
.
{\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}
التطبيق
يتم استخدام معادلات نيوتن-أويلر في وصف التركيبات الأكثر تعثيدا (متعددة الأشكال)، وتستخدم في وصف ديناميكيا الأجسام المتصلة بواسطة مفاصل عن طريق استخدام أكثر من مصفوفة.[2] [6] [7]
انظر أيضا
المصادر
المؤلفات أعمال أخرى الاكتشافات والختراعات النظريات نيوتنيات حياته عائلته وأصدقاؤه في الثقافة مواضيع متعلقة