Weierstrassov M-test

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Weierstrassov M-test je analogija testu poređenja za beskonačne redove, a primjenjuje se kod redova čiji su članovi funkcije sa realnim ili kompleksnim vrijednostima.

Pretpostavimo da je ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ niz realnih ili kompleksnih vrijednosti funkcije definisan u skupu ${\displaystyle A}$, te da postoje pozitivne konstante ${\displaystyle M_{n}}$ takve da vrijedi

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

za sve ${\displaystyle n}$≥${\displaystyle 1}$ i sve ${\displaystyle x}$ u ${\displaystyle A}$. Pretpostavimo, nadalje, da red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

konvergira. Tada, red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

konvergira uniformno na ${\displaystyle A}$.

Općenitija verzija Weierstrassovog M-testa stoji ako je kodomen funkcija ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ bilo koji Banachov prostor, u čijem slučaju se može iskaz

${\displaystyle |f_{n}|\leq M_{n}}$

zamijeniti sa

${\displaystyle ||f_{n}||\leq M_{n}}$,

gdje je ${\displaystyle ||\cdot ||}$ oznaka Banachovog prostora. Za primjer upotrebe ovog testa na Banachovom prostoru, pogledajte članak Fréchetova derijacija.

Dokaz

${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$ konvergira i M_n ≥ 0 za svako n, onda na osnovu Cauchyjevog testa konvergencije

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

za izabrano N,

${\displaystyle \forall x\in A:\forall n>m>N}$

${\displaystyle \left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .}$

Ovaj parcijalni zbir reda ravnomjerno konvergira . Po definiciji, reda ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$ konvergira uniformno.

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8. Nepoznati parametar |month= zanemaren (pomoć)
• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. Nepoznati parametar |month= zanemaren (pomoć)
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.