Nascut a Barcelona, Cesc Gelabert comença a estudiar dansa a l'estudi d'Ana Maleras el 1969 i aprofundeix la seva formació amb classes de jazz i dansa contemporània. En paral·lel, no deixa de jugar a futbol, pel qual sent una gran afició, i inicia estudis d'arquitectura a la Universitat Politècnica de Barcelona. Crea la seva primera coreografia el 1972 i l'any següent el primer solo, Acció-0, en col·laboració amb el pintor i escenògraf Frederic Amat. Se'n va a Londres on rep classes de Matt Mattox.[4]
De tornada a Barcelona, crea la seva primera companyia de dansa i el 1976 comença a actuar al Teatre Lliure. El 1978 se'n va a Nova York, on participa en coreografies col·lectives i realitza solos. L'èxit que va tenir amb l'espectacle My Old Corduroy Suit al Teatre Kitchen l'integra definitivament al panorama de la dansa contemporània de la ciutat.
Se'n torna a Barcelona el 1980, on comença a treballar amb la ballarina Lydia Azzopardi. El 1985 fan el primer espectacle de gran format en comú, Desfigurat, que donarà lloc a la creació de la companyia que duu el nom d'ambdós. El mateix any el fundador del Teatre Lliure, Fabià Puigserver, els ofereix produir espectacles com a companyia resident i associada. Les creacions Requiem (Verdí), el 1987, i Belmonte, el 1988, són considerades fites en la història de la dansa a Espanya. En totes dues, Cesc Gelabert comptà amb la col·laboració de Carles Santos per la música i Frederic Amat pel vestuari i l'escenografia. La companyia surt llavors de gira per Espanya i participa en festivals internacionals d'Europa i Iberoamèrica.
A finals dels anys 1980, arran de la trobada amb Nele Hertling, directora del Hebbel Theater de Berlín, la companyia Gelabert-Azzopardi inicia una coresidència amb aquest teatre berlinès, que durarà fins al 2003. En aquells anys Cesc coneix i col·labora amb el coreògraf alemany Gerhard Bohner amb el qual l'unirà una gran amistat. A la mort d'aquest el 1992, Cesc crea els espectacles Im Goldenen Schnitt I i Im Goldenen Schnitt II en què reinterpreta coreografies de Bohner. Tots dos espectacles feren llargues gires internacionals d'èxit i Im Goldenen Schnitt I se seguia representant a principis de la dècada dels 2010.