Robot articulat

Un robot articulat, o angular, és un robot industrial compost de, com a mínim, tres articulacions de revolució amb el primer eix de rotació disposat en sentit vertical i els altres dos en paral·lel en sentit horitzontal.^[1][2]

Aquesta distribució imita el braç humà i és molt flexible. Sovint incorpora sis o set graus de llibertat per oferir redundància i permetre abastar posicions de difícil accés.^[3] Per altra banda la cinemàtica és difícil de modelar i el pes acumulat dels actuadors afecta la precisió, repetibilitat i càrrega útil. Tot i això, per a la majoria d'aplicacions, és el robot que ofereix un millor rendiment.^[4] També s'ha de destacar que hi ha múltiples solucions constructives per aquest tipus de robot, incloent-hi cadenes cinemàtiques complexes que donen més rigidesa al manipulador i permeten desplaçar més càrrega.^[2]

Els robots articulats es fan servir en tot tipus d'aplicacions i són els més emprats industrialment. Algunes de les tasques més comunes d'aquest tipus de robot són la pintura, soldadura, manipulació de materials o empaquetatge. Les mides d'aquests tipus de configuració són molt variables, entre 0,5 metres fins a més de 3,5 m, amb grans diferències en la capacitat de càrrega, que pot anar des d'uns 3 kg fins a una tona. Segons la Federació Internacional de Robòtica, l'any 2013, els robots articulats representaven una quota de mercat del 60% sobre el total de robots industrials venuts.^[4]

La cinemàtica directa d'un manipulador articulat es pot obtenir seguint el conveni de Denavit-Hartenberg. A la imatge adjunta hi ha l'abstracció d'un manipulador angular de tres graus de llibertat, RRR. El primer origen de coordenades s'ha establert a la intersecció entre z₀ i z₁ per simplificar el paràmetre del desplaçament de l'element (d₁ = 0). Tots els eixos z s'han establert segons la direcció de rotació de l'articulació, mentre que els eixos x s'han situat seguint la direcció relativa dels enllaços (simplificant els paràmetres d₂ i d₃).^[5]

Pels sistemes de coordenades presentats, els paràmetres de Denavit-Hartenberg s'inclouen a la taula següent:

Aleshores, les matrius de transformació homogènies per cada articulació són:^[6]

${\displaystyle A_{1}^{0}(\theta _{1})={\begin{bmatrix}c_{1}&0&s_{1}&0\\s_{1}&0&-c_{1}&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{2}^{1}(\theta _{2})={\begin{bmatrix}c_{2}&-s_{2}&0&a_{2}c_{2}\\s_{2}&c_{2}&0&a_{2}s_{2}\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{3}^{2}(\theta _{3})={\begin{bmatrix}c_{3}&-s_{3}&0&a_{3}c_{3}\\s_{3}&c_{3}&0&a_{3}s_{3}\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Aleshores, les equacions de la cinemàtica directa són:^[6]

${\displaystyle T_{3}^{0}(q)=A_{1}^{0}\cdot A_{2}^{1}\cdot A_{3}^{2}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{23}&-c_{1}s_{23}&s_{1}&c_{1}(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{23})\\s_{1}c_{23}&-s_{1}s_{23}&-c_{1}&s_{1}(a_{2}c_{2}+a_{3}c_{23})\\s_{23}&c_{23}&0&a_{2}s_{2}+a_{3}s_{23}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

On ${\displaystyle q=[\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}]^{T}}$. Com que z₃ està alineat amb z₂, el sistema de coordenades 3 no coincideix amb un possible sistema de coordenades d'un terminal i per instal·lar-ne un s'ha d'aplicar una transformació.^[6]

Per altra banda, la cinemàtica inversa calcula a quins angles han de ser les articulacions per assolir una posició del terminal concreta. En aquest cas es té una posició qualsevol del terminal, ${\displaystyle O_{3}=[x_{3},y_{3},z_{3}]}$, i s'han de determinar els angles de les articulacions, ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$, necessaris per assolir aquesta posició.

Aquest problema es pot resoldre amb el mètode geomètric. Si es referencia la cinemàtica a la base fixa es pot trobar immediatament l'angle ${\displaystyle \theta _{1}}$ necessari:^[7]

${\displaystyle \theta _{1}=atan2(y_{3},x_{3})}$

Per altra banda, considerant solament els elements 2 i 3 situats en un pla com el que es pot veure a la figura adjacent, es pot emprar el teorema de Pitàgores i el teorema del cosinus per determinar els angles restants.

${\displaystyle {\begin{cases}r^{2}=x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\\r^{2}+z_{3}^{2}=a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2a_{2}a_{3}cos(\theta _{3})\end{cases}}}$

D'aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites, ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle \theta _{3}}$, es pot aïllar ${\displaystyle \theta _{3}}$ com:

${\displaystyle cos(\theta _{3})={\frac {x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2}}{2a_{2}a_{3}}}}$

Aquesta expressió permet obtenir el valor de l'angle de la tercera articulació en funció del vector de posició del terminal. Tot i això, per motius computacionals, és preferible formular aquesta expressió amb l'arctangent abans que amb l'arccosinus. Aquest canvi es pot desenvolupar de la següent manera:^[8]

${\displaystyle sin(\theta _{3})=\pm {\sqrt {1-cos^{2}(\theta _{3})}}}$

${\displaystyle \theta _{3}=atan2\left({\frac {\pm {\sqrt {1-cos^{2}(\theta _{3})}}}{cos(\theta _{3})}}\right)}$

A on ${\displaystyle cos(\theta _{3})}$ és l'expressió que s'ha trobat prèviament. Com es pot veure, existeixen dues solucions possibles per ${\displaystyle \theta _{3}}$ segons el símbol de l'arrel quadrada que s'usi. Aquestes dues solucions es corresponen a les configuracions colze amunt o colze avall, que es poden veure a la imatge adjunta prèviament.

Amb l'angle de l'articulació 3 definida, ja només queda determinar l'angle de la segona articulació. Aquest valor es pot trobar mitjançant la diferència entre ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$, il·lustrades a la figura prèvia:^[9]

${\displaystyle \theta _{2}=\beta -\alpha }$

${\displaystyle \beta =atan\left({\frac {z_{3}}{r}}\right)=atan\left({\frac {z_{3}}{\pm {\sqrt {x_{3}^{2}+y_{3}^{2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \alpha =atan\left({\frac {a_{3}sin(\theta _{3})}{a_{2}+a_{3}cos(\theta _{3})}}\right)}$

I així, finalment:

${\displaystyle \theta _{2}=atan\left({\frac {z_{3}}{\pm {\sqrt {x_{3}^{2}+y_{3}^{2}}}}}\right)-atan\left({\frac {a_{3}sin(\theta _{3})}{a_{2}+a_{3}cos(\theta _{3})}}\right)}$

Les dues possibilitats, segons la tria del signe de l'arrel quadrada, tornen a correspondre's amb les dues configuracions colze amunt i colze avall. Així doncs, resolent les tres equacions plantejades, es poden trobar els angles necessaris per moure's a una posició determinada de l'espai.

• Barrientos, Antonio; Peñín, Luis Felipe; Balaguer, Carlos; Santoja, Rafael Aracil. Fundamentos de robótica. McGraw-Hill Interamericana de España, 2007, p. 512. ISBN 978-8448156367 [Consulta: 19 gener 2020]. 
• Blas i Abante, Marta; Mateu i Martínez, M. Rosa; Picó i Garcia, Rosa Maria; Riba i Romeva, Carles. «Diccionari de robòtica industrial» p. 18, 1991. [Consulta: 15 setembre 2019].
• Riba i Romeva, Carles. «Els robots industrials I. Característiques» p. 76, 1998. [Consulta: 15 setembre 2019].
• Siciliano, Bruno; Khatib, Oussama. Springer Handbook of Robotics 2nd Edition. Berlin Heidelberg: Springer, 2016, p. 2259. ISBN 978-3-319-32550-7 [Consulta: 15 setembre 2019]. 
• Siciliano, Bruno; Sciavicco, Lorenzo; Villani, Luigi; Oriolo, Giuseppe. Robotics. Modelling, Planning and Control. Springer, 2009, p. 632. ISBN 978-1-84628-641-4 [Consulta: 15 setembre 2019]. 
• Wilson, Mike. Implementation of robot systems. An introduction to robotics, automation, and successful systems integration in manufacturing. Elsevier, 2015, p. 229. ISBN 978-0-124-04733-4 [Consulta: 15 setembre 2019]. 

• Vídeo a Youtube d'Angela Sodemann: Inverse Kinematics of Articulated Manipulator (anglès)