Tot i que roman inactiu des del novembre de 2015, a la llista d'Elo de la FIDE de l'octubre de 2020, hi tenia un Elo de 2510 punts, cosa que en feia el jugador número 13 d'Anglaterra.[2] El seu màxim Elo va ser de 2601 punts, a la llista d'octubre de 2001 (posició 95 al rànquing mundial).[3]
Conquest va ser Campió Britànic de partides ràpides1997. El 1995 i 2000 va compartir el primer lloc al Hastings Premier.[7] El 2001 va guanyar el torneig de categoria 14 celebrat a Clichy (França).[8] Aquell any, instal·lat a La Rioja, va guanyar el III Obert de semirràpides Ciudad de Alfaro (a La Rioja), superant Félix Izeta, i fou segon al I Obert de semirràpides Villa de San Pedro del Pinatar (a Múrcia), per sota de Vadim Milov. El 2006 fou segon al VIII Obert de Logroño, rere Bogdan Lalić.[9]
El 2008 va guanyar el Campionat Britànic,[10] tot derrotant en Keith Arkell al desempat a dues partides ràpides, després que acabessin el campionat regular empatats al primer lloc.[11]
El 2009 fou primer al torneig obert de Capo d'Orso a Palau, Sardenya,[12] per davant de Serguei Tiviàkov. La taula dels deu (de 178) primers classificats:
Torneig obert de Capo d'Orso, Palau, Sardenya, 2009
