Han fik sin teologiske embedseksamen i 1912 og rejste umiddelbart efter til USA på studierejse, hvor han blev interesseret i verdensmission og økumeni. I 1913 vendte Malmstrøm hjem til Danmark, hvor han fra 1913 til 1916 var sekretær i KFUMs afdeling i Aarhus.
Da Johannes Gøtzsche skulle afløses som biskop over Viborg Stift på grund af dennes pensionering i 1936, opstillede Axel Malmstrøm til bispevalget. Han vandt valget og blev indsat 12. juli1936. Malmstrøm med familie flyttede efterfølgende ind i Bispegården i Viborg. Han var biskop til sin død i 1951.
Viborg Stift bestyrer et legat med navnet Biskop Aksel Malmstrøm og hustrus legat for præster i Viborg stift.
Bibliografi
Denne liste er ufuldstændig; hjælp gerne med at udfylde den.
"Evangeliet til alverden (den nyere missions baggrund og historie)" 3 bind (1948-1950)
Privat
Axel Malmstrøm er søn af grosserer Jens Haagen (1860-1935) og Agnes Kierkemann (1864-1935). Den 10. november1916 blev Malmstrøm gift med Hedevig Jahnsen (1889-1969) i København.