Hydrogen-spektret på en logaritmisk skala .Rydbergs formel beskriver emissionsspektret fra brint og brint-lignende ioner . Den udsendte bølgelængde
λ λ -->
{\displaystyle \lambda }
1
λ λ -->
=
R
H
(
1
n
2
− − -->
1
m
2
)
;
n
<
m
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}
hvor
R
H
=
10.973.731
,
6
m
− − -->
1
≈ ≈ -->
1
,
097
⋅ ⋅ -->
10
7
m
− − -->
1
{\displaystyle R_{\mathrm {H} }=10.973.731,\!6\,{\text{m}}^{-1}\approx 1,097\cdot 10^{7}\,{\text{m}}^{-1}}
Rydbergs konstant , mens
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
heltal . For brint-lignende ioner, hvor der stadig kun er én elektron , men kernen har en ladning på
Z
{\displaystyle Z}
elementarladninger , er formlen givet ved:
1
λ λ -->
=
Z
2
R
H
(
1
n
2
− − -->
1
m
2
)
;
n
<
m
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=Z^{2}R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}
Formlen blev formuleret af den svenske fysiker Johannes Rydberg i 1888 .[ 1]
Serier
Ved at sætte
n
{\displaystyle n}
[ 2] [ 3]
Serierne konvergerer, fordi det andet led i Rydbergs formel går mod nul, når
m
{\displaystyle m}
uendelig .
Udledning
Rydbergs formel er lige til at udlede fra Bohrs atommodel . I den kan elektronerne kun antage diskrete energiniveauer givet ved:
E
=
− − -->
m
e
4
2
(
4
π π -->
ε ε -->
0
)
2
ℏ ℏ -->
2
(
1
n
2
)
{\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}
hvor
n
{\displaystyle n}
e
{\displaystyle e}
m
{\displaystyle m}
masse ,
ε ε -->
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
vakuumpermittiviteten , og
ℏ ℏ -->
{\displaystyle \hbar }
Plancks reducerede konstant . Hvis en elektron nu går fra en høj tilstand
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Δ Δ -->
E
=
E
m
− − -->
E
n
=
m
e
4
2
(
4
π π -->
ε ε -->
0
)
2
ℏ ℏ -->
2
(
1
n
2
− − -->
1
m
2
)
{\displaystyle \Delta E=E_{m}-E_{n}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}
Energien frigives i form af en foton , hvis energi er proportional med frekvensen
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
Δ Δ -->
E
=
h
ν ν -->
{\displaystyle \Delta E=h\nu }
Her er
h
{\displaystyle h}
Plancks konstant . Frekvensen er lysets fart
c
{\displaystyle c}
λ λ -->
{\displaystyle \lambda }
h
c
λ λ -->
=
m
e
4
2
(
4
π π -->
ε ε -->
0
)
2
ℏ ℏ -->
2
(
1
n
2
− − -->
1
m
2
)
{\displaystyle h{\frac {c}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}
eller
1
λ λ -->
=
m
e
4
2
(
4
π π -->
ε ε -->
0
)
2
ℏ ℏ -->
2
h
c
(
1
n
2
− − -->
1
m
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}
Dermed er Rydbergs formel udledt, hvor Rydbergs konstant altså er lig med:[ 3]
R
H
=
m
e
4
2
(
4
π π -->
ε ε -->
0
)
2
ℏ ℏ -->
2
h
c
=
m
e
4
8
ε ε -->
0
2
h
3
c
{\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}={\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}
Udtrykket
e
4
{\displaystyle e^{4}}
Coulombs lov , så der skal blot ganges en faktor
Z
2
{\displaystyle Z^{2}}
atomkerner .[ 4]
Eksterne henvisninger
Kildehenvisninger
