Artjom Tschubarow begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt im Nachwuchsbereich von Torpedo Nischni Nowgorod, für dessen Profimannschaft er in der Saison 1996/97 sein Debüt in der zweitklassigen Wysschaja Liga gab. Als Zweitligameister stieg der Angreifer in dieser Spielzeit mit Nowgorod in die Superliga auf. Er selbst wechselte jedoch zum HK Dynamo Moskau, mit dem er auf europäischer Ebene 1998 und 1999 jeweils den zweiten Platz in der European Hockey League belegte. Dabei scheiterte er mit seinem Team an der VEU Feldkirch aus Österreich sowie dem Ligarivalen HK Metallurg Magnitogorsk. An Metallurg scheiterte er mit Dynamo in der Saison 1998/99 auch im Playoff-Finale um die russische Meisterschaft.
Michael Peca (links) und Artjom Tschubarow beim Bully (Saison 2002/03)
Zur Saison 2004/05 kehrte Tschubarow nach in die russische Superliga zurück, in der er einen Vertrag bei seinem Ex-Club HK Dynamo Moskau erhielt. Mit den Hauptstädtern wurde er in dieser Spielzeit erstmals Russischer Meister. Im Anschluss an diesen Erfolg unterschrieb der ehemalige Nationalspieler beim HK Awangard Omsk, mit dem er 2006 Vizemeister wurde. Auf europäischer Ebene belegte er mit Awangard in der Saison 2006/07 hinter dem HK Junost Minsk aus Weißrussland den zweiten Platz im IIHF Continental Cup. Für die Saison 2008/09 wechselte er zu Torpedo Nischni Nowgorod, bei dem er zwölf Jahre zuvor seine Profikarriere begonnen hatte. Für Torpedo erzielte er in der neu gegründeten Kontinentalen Hockey-Liga in 43 Spielen insgesamt vier Tore und bereitete weitere 17 vor. Am Saisonende wurde sein Vertrag jedoch nicht mehr verlängert. Im Februar 2010 wurde er zum dritten Mal von Dynamo Moskau verpflichtet. Bis Saisonende absolvierte er zwei Spiele, ehe er seine Karriere beendete.
