Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ mit zwei endlichen Konstanten ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$

${\displaystyle {{\sqrt {n}}(X_{n}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}}$

gilt, wobei ${\displaystyle {\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}}$ die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle g'(\mu )\neq 0}$:

${\displaystyle {\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}(g'(\mu ))^{2})\;.}$^[1]

Es sei ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und Varianz ${\displaystyle 0<\sigma ^{2}<\infty }$. Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel ${\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X_{n}}}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$.

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von ${\displaystyle Y_{n}=\mathrm {e} ^{{\bar {X}}_{n}}}$ interessiert, dann ist ${\displaystyle g(x)=\mathrm {e} ^{x}}$, ${\displaystyle g'(x)=\mathrm {e} ^{x}}$, ${\displaystyle g'(\mu )=\mathrm {e} ^{\mu }}$ und ${\displaystyle (g'(\mu ))^{2}=\mathrm {e} ^{2\mu }}$. Die Delta-Methode ergibt dann

${\displaystyle {\sqrt {n}}(Y_{n}-\mathrm {e} ^{\mu }){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\mathrm {e} ^{2\mu })\;.}$^[2]

Für den Fall ${\displaystyle g'(\mu )=0}$ und ${\displaystyle g''(\mu )\neq 0}$ gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

${\displaystyle n(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}\sigma ^{2}{\frac {g''(\mu )}{2}}Z^{2}\;,}$

wobei ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.^[3]

Für eine Folge ${\displaystyle p}$-dimensionaler Zufallsvektoren ${\displaystyle \mathbf {X} _{1},\dots ,\mathbf {X} _{n}}$ gelte

${\displaystyle {{\sqrt {n}}(\mathbf {X} _{n}-{\boldsymbol {\mu }}){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}_{p}(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}}$

mit ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{p}}$ und einer positiv semidefiniten Matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{p\times p}}$. Für eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} }$ bezeichne ${\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {\mu }}}$ den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion ${\displaystyle g}$ an der Stelle ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$, der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

${\displaystyle {\sqrt {n}}(g(\mathbf {X} _{n})-g({\boldsymbol {\mu }})){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}\left(0,\nabla _{\boldsymbol {\mu }}^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}\nabla _{\boldsymbol {\mu }}\right)}$.^[4]

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode.^[5] Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

• Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, doi:10.1007/s13571-023-00305-9. 
• Gary W. Oehlert: A Note on the Delta Method. In: The American Statistician. Band 46, Nr. 1, 1992, S. 27–29, doi:10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR:2684406. 
• Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 3 Delta Method, S. 25–34. 

1. ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. 
2. ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. 
3. ↑ Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9. 
4. ↑ Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. 
5. ↑ Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.