Goodstein-Folgen sind spezielle Folgen natürlicher Zahlen. Sie spielen eine Rolle in einem mathematischen Satz, dem Satz von Goodstein. Das Besondere an diesem Satz ist, dass er sich zwar mit den Mitteln der Peano-Axiome formulieren, aber nicht ausschließlich mit ihnen beweisen lässt. Dies liegt daran, dass die Peano-Arithmetik die natürlichen Zahlen nicht eindeutig modelliert, d. h., sie erlaubt auch andere Modelle als die natürlichen Zahlen, in denen der Satz von Goodstein nicht gilt. Dieser Satz ist ein Beispiel dafür, dass nicht jede unbeweisbare Aussage so kompliziert und unvorstellbar sein muss wie die unbeweisbaren Aussagen im Gödelschen Unvollständigkeitssatz.

Jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ kann wie folgt zu einer gegebenen Basis ${\displaystyle b}$ entwickelt werden:

${\displaystyle n=a_{m}b^{m}+\cdots +a_{2}b^{2}+a_{1}b^{1}+a_{0}b^{0}=\sum _{k=0}^{m}a_{k}b^{k}}$

wobei die ${\displaystyle a_{k}}$ Koeffizienten sind, die zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle b-1}$ liegen (siehe Stellenwertsystem).

Zum Beispiel ist ${\displaystyle 35}$ die Darstellung einer natürlichen Zahl im Dezimalsystem:

${\displaystyle 35=3\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}=30+5}$

Zur Basis 2 lautet die Darstellung

${\displaystyle 35=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+2+1}$

Diese Darstellung zur Basis ${\displaystyle b}$ wird nun auf die Exponenten angewendet, und dann auf die Exponenten der Exponenten, solange bis keine Zahl oberhalb der Basis mehr auftritt. Diese Darstellung nennt man die iterierte Darstellung zur Basis ${\displaystyle b}$ (englisch hereditary base ${\displaystyle b}$ representation). Für die Zahl ${\displaystyle 35}$ ergibt sich diese Darstellung:

${\displaystyle 35=2^{(2^{2}+1)}+2^{1}+2^{0}}$

Mit dieser iterierten Darstellung wird die Goodsteinsche Operation aufblähen (englisch bump the base) definiert. Diese ersetzt überall dort, wo in der iterierten Darstellung einer Zahl die Basis ${\displaystyle b}$ steht, diese durch ${\displaystyle b+1}$. Diese Abbildung, die die Zahl ${\displaystyle n}$ zur Basis ${\displaystyle b}$ iteriert darstellt und dann aufbläht, wird hier als

${\displaystyle a_{b}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

geschrieben; in der Literatur gibt es viele verschiedene Schreibweisen dafür.

${\displaystyle a_{2}(35)=a_{2}\left(2^{2^{2}+1}+2^{1}+2^{0}\right)}$

${\displaystyle =3^{3^{3}+1}+3^{1}+3^{0}=22.876.792.454.965}$

Ist nun ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl, dann wird die Goodstein-Folge mit Startwert ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (g_{b}(n))_{b\in \mathbb {N} }\;}$

unter Verwendung dieser Abbildung ${\displaystyle a_{b}}$ so definiert:

${\displaystyle g_{1}(n):=n\;}$

${\displaystyle g_{b}(n):={\begin{cases}a_{b}(g_{b-1}(n))-1&b>1,\ g_{b-1}(n)>0\\0&b>1,\ g_{b-1}(n)=0\end{cases}}}$

Das zweite Folgenglied wird also berechnet, indem man ${\displaystyle n}$ zur Basis ${\displaystyle b=2}$ iteriert darstellt, dann aufbläht und von der aufgeblähten Zahl ${\displaystyle 1}$ abzieht.

Die Goodstein-Folgen für ${\displaystyle n=1,2,3}$ sind noch recht kurz:

${\displaystyle n=1}$:

${\displaystyle g_{1}(1)=1}$

${\displaystyle g_{2}(1)=0}$

${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle g_{1}(2)=2}$

${\displaystyle g_{2}(2)=a_{2}(2^{1})-1=3^{1}-1=2}$

${\displaystyle g_{3}(2)=a_{3}(2)-1=2-1=1}$

${\displaystyle g_{4}(2)=a_{4}(1)-1=1-1=0}$

${\displaystyle n=3}$:

${\displaystyle g_{1}(3)=3}$

${\displaystyle g_{2}(3)=a_{2}(2^{1}+1)-1=3^{1}+1-1=3}$

${\displaystyle g_{3}(3)=a_{3}(3^{1})-1=4^{1}-1=3}$

${\displaystyle g_{4}(3)=a_{4}(3\cdot 4^{0})-1=3\cdot 5^{0}-1=2}$

${\displaystyle g_{5}(3)=a_{5}(2\cdot 5^{0})-1=2\cdot 6^{0}-1=1}$

${\displaystyle g_{6}(3)=a_{6}(6^{0})-1=7^{0}-1=0}$

Man beachte, dass hier ab ${\displaystyle b=4}$ die Erhöhung der Basis keine Auswirkung mehr hat, weil die Zahl dann kleiner als die Basis ist; sie ist bgzl. dieser Basis also einstellig.

${\displaystyle n=4}$:

${\displaystyle g_{1}(4)=4}$

${\displaystyle g_{2}(4)=a_{2}(2^{2})-1=3^{3}-1=26}$

${\displaystyle g_{3}(4)=a_{3}(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}+2)-1=2\cdot 4^{2}+2\cdot 4^{1}+2-1=41}$

${\displaystyle g_{4}(4),\ldots ,g_{10}(4)=60,83,109,139,173,211,253\;}$

${\displaystyle g_{11}(4)=a_{11}(2\cdot 11^{2}+11^{1})-1=2\cdot 12^{2}+12^{1}-1=299}$

${\displaystyle g_{12}(4)=a_{12}(2\cdot 12^{2}+11)-1=2\cdot 13^{2}+11-1=348}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle g_{100}(4)=101^{2}+21\cdot 101+90=12.412}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle g_{1000}(4)=1001^{2}+18\cdot 1001+534=1.020.553}$

${\displaystyle \dots }$

Diese Folge steigt noch recht lange an, bis zur Basis ${\displaystyle 3\cdot 2^{402.653.209}}$, bleibt dann noch einmal doppelt solange konstant, und fällt dann ab, bis bei der Basis ${\displaystyle 3\cdot 2^{402.653.211}-1}$ der Wert ${\displaystyle 0}$ erreicht wird. Die Anzahl der benötigten Schritte ist hier also selbst eine Zahl mit mehr als 121 Millionen Dezimalstellen.

Einen Eindruck davon, wie schnell Goodstein-Folgen wachsen können, liefern größere Werte von ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle n=19}$:

${\displaystyle g_{1}(19)=19}$

${\displaystyle g_{2}(19)=a_{2}(2^{2^{2}}+2+1)-1=3^{3^{3}}+3=7.625.597.484.990}$

${\displaystyle g_{3}(19)=4^{4^{4}}+3\approx 1{,}3\cdot 10^{154}}$

${\displaystyle g_{4}(19)=5^{5^{5}}+2\approx 1{,}8\cdot 10^{2184}}$

${\displaystyle g_{5}(19)=6^{6^{6}}+1\approx 2{,}6\cdot 10^{36.305}}$

${\displaystyle g_{6}(19)=7^{7^{7}}\approx 3{,}8\cdot 10^{695.974}}$

${\displaystyle g_{7}(19)=8^{8^{8}}-1=7\cdot 8^{(7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7)}+}$

${\displaystyle \ldots +7\cdot 8^{8+1}+7\cdot 8^{8}+7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+}$

${\displaystyle 7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7}$

${\displaystyle \approx 6\cdot 10^{15.151.335}}$

${\displaystyle \dots }$

Trotz des rasanten Wachstums dieser Folgen behauptet nun der Satz von Goodstein, dass alle diese Folgen irgendwann wieder fallen und bei ${\displaystyle 0}$ enden.

Der Satz von Goodstein lautet:

Jede Goodstein-Folge mit beliebigem Anfangswert aus den natürlichen Zahlen erreicht in endlich vielen Schritten den Wert ${\displaystyle 0}$.

Dieser Satz wurde 1944 vom englischen Logiker Reuben Louis Goodstein (1912–1985) bewiesen. Dieser Satz ist innerhalb der Mathematik vor allem deswegen interessant, weil er sich nicht mit den Axiomen der Peano-Arithmetik herleiten lässt. Stattdessen verwendet der Beweis Mittel der Mengenlehre, speziell die Theorie der Ordinalzahlen.

Der Satz von Kirby und Paris besagt, dass der Satz von Goodstein nicht mit Mitteln der Peano-Arithmetik beweisbar ist. Man benötigt also ein mächtigeres Werkzeug: die Ordinalzahlen.

Die Theorie der Ordinalzahlen erweitert die natürlichen Zahlen um Größen, die größer als alle natürlichen Zahlen sind. Die kleinste unendliche Ordinalzahl wird ${\displaystyle \omega }$ (kleiner griechischer Buchstabe Omega) genannt. Ordinalzahlen kann man addieren, multiplizieren und potenzieren, jedoch gelten einige Rechenregeln der natürlichen Zahlen für Ordinalzahlen nicht allgemein (z. B. ist ${\displaystyle \omega +1\neq 1+\omega =\omega }$). Ordinalzahlen sind der Größe nach geordnet (sie haben eine totale Ordnung), die drei genannten Rechenarten sind monoton in allen Argumenten, und die Ordinalzahlen sind wohlgeordnet, d. h., es gibt keine streng monoton fallende unendliche Folge von Ordinalzahlen.

Wir ordnen nun jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ eine Ordinalzahl zu, indem wir ${\displaystyle n}$ zur Basis ${\displaystyle b}$ iteriert darstellen und dann jedes ${\displaystyle b}$ durch ${\displaystyle \omega }$ ersetzen. Die so entstehenden Ordinalzahlen lassen sich durch eine endliche Folge von Additionen, Multiplikationen und Potenzierungen aus ${\displaystyle \omega }$ und natürlichen Zahlen gewinnen; die Menge der so darstellbaren Ordinalzahlen heißt ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$; diese Menge ist außerdem die kleinste Ordinalzahl, die nicht auf diese Weise darstellbar ist. Wir haben also eine Abbildung

${\displaystyle A_{b}(n)\colon \mathbb {N} \to \varepsilon _{0}}$

Auch hier gibt es in der Literatur unterschiedliche Schreibweisen.

Es ist z. B.

${\displaystyle A_{2}(19)=A_{2}(2^{2^{2}}+2+1)=\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega +1}$

${\displaystyle A_{3}(g_{2}(19))=A_{3}(3^{3^{3}}+3)=\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega }$

Ist ${\displaystyle n}$ kleiner als ${\displaystyle b}$, dann ist ${\displaystyle A_{b}(n)}$ eine endliche Ordinalzahl, z. B. ist

${\displaystyle A_{5}(3)=3}$

Das Aufblähen hat keine Auswirkung auf die Ordinalzahl, denn es spielt keine Rolle, ob man in der iterierten Darstellung gleich jedes ${\displaystyle b}$ durch ${\displaystyle \omega }$ ersetzt, oder erst jedes ${\displaystyle b}$ durch ${\displaystyle b+1}$ und dann jedes ${\displaystyle b+1}$ durch ${\displaystyle \omega }$, es gilt also

${\displaystyle A_{b+1}(a_{b}(n))=A_{b}(n)}$

Die Subtraktion von ${\displaystyle 1}$ hat jedoch Auswirkungen auf die Ordinalzahl: Diese wird reduziert.

Beispielsweise gilt

${\displaystyle A_{5}(a_{4}(4^{4}+4))=A_{5}(5^{5}+5)=\omega ^{\omega }+\omega }$

${\displaystyle A_{5}(a_{4}(4^{4}+4)-1)=A_{5}(5^{5}+4)=\omega ^{\omega }+4}$

Der Goodstein-Folge ${\displaystyle (g_{b}(n))_{b\in \mathbb {N} }}$ ordnen wir nun eine Folge von Ordinalzahlen ${\displaystyle (G_{b}(n))_{b\in \mathbb {N} }}$ so zu:

${\displaystyle G_{b}(n):=A_{b+1}(g_{b}(n))}$

Diese Folge wird oft die Parallelfolge (englisch parallel sequence) genannt.

Diese Folge von Ordinalzahlen ist streng monoton fallend, muss also nach endlich vielen Schritten bei ${\displaystyle 0}$ enden, denn die Ordinalzahlen sind wohlgeordnet. Da ${\displaystyle G_{b}(n)\geq g_{b}(n)}$ für alle ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle b}$ gilt, endet also auch die Goodstein-Folge nach endlich vielen Schritten.

Der Satz von Goodstein macht keine Aussage darüber, nach wie vielen Schritten eine Goodstein-Folge endet; er ist also ein reiner Existenzsatz:

Zu jedem natürlichen ${\displaystyle n}$ existiert ein ${\displaystyle b}$, so dass ${\displaystyle g_{b}(n)=0}$ ist.

Während der Beweis des Satzes von Goodstein noch relativ einfach ist, sofern man mit der Theorie der Ordinalzahlen vertraut ist, ist die Behauptung, dass dieser Satz nicht allein mit der Peano-Arithmetik beweisbar ist, deutlich schwieriger zu beweisen. Dies gelang Laurie Kirby und Jeff Paris 1982. Der nach ihnen benannte Satz verwendet ein Nichtstandardmodell der Peano-Arithmetik.

• R. L. Goodstein: On the restricted ordinal theorem. In: Journal of Symbolic Logic. Bd. 9, Nr. 2, 1944, ISSN 0022-4812, S. 33–41.
• Laurie Kirby, Jeff Paris: Accessible independence results for Peano arithmetic. In: Bulletin of the London Mathematical Society. Bd. 14, Nr. 4, 1982, ISSN 0024-6093, S. 285–293, doi:10.1112/blms/14.4.285.
• Patrick Dehornoy: Braucht die Arithmetik das Unendliche? In: Das Unendliche (Spektrum der Wissenschaft. Spezial. 1, 2001, ISSN 0943-7096). Spektrum-der-Wissenschaft-Verlags-Gesellschaft, Heidelberg 2001.