Im Jahr 1900 kam Joseph Bryson mit seinen Eltern nach Greenville in South Carolina. Dort besuchte er die öffentlichen Schulen einschließlich der Furman University, die er im Jahr 1917 absolvierte. Dazwischen war er in den Jahren 1915 und 1916 Mitglied der Nationalgarde von South Carolina. Während des Ersten Weltkrieges wurde er von 1917 bis 1918 noch einmal zur Nationalgarde eingezogen. Dort war er zunächst beim medizinischen Dienst und dann bei einer Infanterieeinheit. Nach einem anschließenden Jurastudium an der University of South Carolina in Columbia und seiner im Jahr 1920 erfolgten Zulassung als Rechtsanwalt begann er in Greenville in seinem neuen Beruf zu praktizieren.