Juri Kokscharow begann seine Karriere als Eishockeyspieler bei Amur Chabarowsk, für dessen zweite Mannschaft er von 2002 bis 2004 in der drittklassigen Perwaja Liga aktiv war. Anschließend gab der Center sein Debüt im professionellen Eishockey, als er für das Farmteam Amurs, die Golden Amur aus der multinationalen Asia League Ice Hockey, in insgesamt 43 Spielen je 13 Tore und Vorlagen erzielte. Die folgenden vier Jahre verbrachte er in der Wysschaja Liga, der zweiten russischen Spielklasse, in der er nacheinander für Sauralje Kurgan, Kristall Saratow und den HK Jugra Chanty-Mansijsk auf dem Eis stand. Einszig gegen Ende der Saison 2007/08 stand er beim Erstligisten HK Lada Toljatti unter Vertrag, kam jedoch nur für dessen zweite Mannschaft in der Perwaja Liga zum Einsatz.
Zur Saison 2009/10 kehrte Kokscharow zu seinem Ex-Club Amur Chabarowsk zurück, der in der Zwischenzeit in die Kontinentale Hockey-Liga aufgenommen worden war. In seiner ersten KHL-Spielzeit erzielte der Russe in 49 Spielen sieben Tore und gab weitere vier Vorlagen.
