In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Die Definition der Lie-Ableitung ist wie folgt motiviert: ${\displaystyle T}$ sei ein Feld auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, dessen Symmetrie untersucht werden soll. Die Punkte ${\displaystyle P_{0}}$ aus ${\displaystyle M}$ mögen in einem Koordinatensystem ${\displaystyle K_{0}}$ die Koordinaten ${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{0}}_{K_{0}}}$ haben. Es möge eine glatte Verschiebung (Fluss) ${\displaystyle \phi :{M\times R}\rightarrow M}$ geben, die in Abhängigkeit eines Parameters ${\displaystyle t}$ jedem beliebigen Punkt ${\displaystyle P_{0}}$, in glatter Weise Punkte ${\displaystyle P_{t}}$ mit den Koordinaten ${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{t}}_{K_{0}}}$ zuordnet. Weiterhin führen wir Koordinatensysteme ${\displaystyle K_{t}}$ ein, so dass die Punkte ${\displaystyle P_{t}}$ in ${\displaystyle K_{t}}$ die gleichen Koordinatenwerte haben, wie die Punkte ${\displaystyle P_{0}}$ in ${\displaystyle K_{0}}$. Diese Koordinatensysteme sind demnach durch die Koordinatentransformation ${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{0}}_{K_{0}}={{\boldsymbol {x}}_{t}}_{K_{t}}}$ definiert.

Eine Symmetrie des Feldes ${\displaystyle T}$ liegt dann vor, wenn bei der Verschiebung ${\displaystyle P_{0}\rightarrow P_{t}}$ die Komponenten ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{K_{t}}(P_{t})}$ des Feldes ${\displaystyle T}$ am Punkt ${\displaystyle P_{t}}$, ausgedrückt in den Koordinaten ${\displaystyle K_{t}}$ die gleichen Werte haben, wie die Komponenten von ${\displaystyle T}$ am Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ ausgedrückt im Koordinatensystem ${\displaystyle K_{0}}$ . Die Bedingungsgleichung für die Symmetrie des Feldes ist demnach ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{K_{0}}(P_{0})={\boldsymbol {T}}_{K_{t}}(P_{t})}$.

Setzt man dieses Konzept für infinitesimale Verschiebungen um, so lässt sich mit Hilfe des Tangentialvektorenfeldes ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ zum Fluss ${\displaystyle \phi }$ die Verschiebung eines Punktes ${\displaystyle P_{0}\rightarrow P_{\varepsilon }}$ in Koordinaten als ${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{\varepsilon }}={\boldsymbol {x}}_{0}+\varepsilon {\boldsymbol {X}}}$ schreiben.

Das Koordinatensystem ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ in seinen geforderten Eigenschaften wird durch die Koordinatentransformation ${\displaystyle {{\boldsymbol {x}}_{\varepsilon }}={\boldsymbol {x}}_{0}-\varepsilon {\boldsymbol {X}}}$ definiert. Die Symmetriebedingung des Vektorfeldes ${\displaystyle T}$ ist dann ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{K_{\varepsilon }}(P_{\varepsilon })-{\boldsymbol {T}}_{K_{0}}(P_{0})=0}$. Der Koeffizient des in ${\displaystyle \varepsilon }$ linearen Gliedes ist per Definition die Lie-Ableitung von ${\displaystyle T}$ in Richtung ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {{\boldsymbol {T}}_{K_{\varepsilon }}(P_{\varepsilon })-{\boldsymbol {T}}_{K_{0}}(P_{0})}{\varepsilon }}}$.

Für Felder ${\displaystyle T}$ mit einer zu ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ gehörigen Symmetrie verschwindet die Lie-Ableitung. In dem Sinne liefert der Ausdruck ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T=0}$ ein Kriterium für die Symmetrie eines Vektorfeldes ${\displaystyle T}$.

Ist ${\displaystyle X}$ ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}$ die Anwendung von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=Xf}$.

Genauer: Es seien ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ eine glatte Funktion und ${\displaystyle X}$ ein glattes Vektorfeld auf ${\displaystyle M}$. Die Lie-Ableitung ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)}$ der Funktion ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle X}$ im Punkt ${\displaystyle p\in M}$ ist definiert als die Richtungsableitung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle X(p)}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p):=X_{p}(f)=d_{p}f(X(p))}$

In lokalen Koordinaten ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\colon U\subseteq M\to \mathbb {R} ^{n}}$ lässt sich das Vektorfeld darstellen als

${\displaystyle X=\sum _{j=1}^{n}X_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$, mit ${\displaystyle X_{j}\colon U\to \mathbb {R} }$.

Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=\sum _{j=1}^{n}X_{j}(p){\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(p)}$.

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei Vektorfelder an der ${\displaystyle n}$-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle F_{t}}$ der Fluss des Vektorfelds ${\displaystyle X}$. Dann ist die Lie-Ableitung ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$ von ${\displaystyle Y}$ in Richtung ${\displaystyle X}$ definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(F_{t}^{*}Y)}$,

wobei ${\displaystyle F_{t}^{*}}$ den Rücktransport des Flusses ${\displaystyle F_{t}}$ meint.

Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}Y)f=X(Y(f))-Y(X(f))}$,

wobei ${\displaystyle f}$ eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass ${\displaystyle (X,Y)\mapsto {\mathcal {L}}_{X}Y}$ die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch ${\displaystyle [X,Y]:={\mathcal {L}}_{X}Y}$. Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.^[1][2]

Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term ${\displaystyle X(Y(f))-Y(X(f))}$. Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also ${\displaystyle [X,Y]:=Y\circ X-X\circ Y}$ verwendet.

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder ${\displaystyle X}$ beziehungsweise ${\displaystyle Y}$ eine Darstellungen

${\displaystyle X=\sum _{j=1}^{n}X_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

beziehungsweise

${\displaystyle Y=\sum _{j=1}^{n}Y_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$.

Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann

${\displaystyle [X,Y]=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\frac {\partial Y_{j}}{\partial x_{k}}}-\sum _{k=1}^{n}Y_{k}{\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{k}}}\right){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,.}$

Der Vektorraum ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ aller glatten Funktionen ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes ${\displaystyle X}$ ist dann eine ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Derivation ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$, d. h., sie hat die Eigenschaften

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g}$ (Leibniz-Regel)

Bezeichne ${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$ die Menge aller glatten Vektorfelder auf ${\displaystyle M}$, dann ist die Lie-Ableitung auch eine ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Derivation auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\times {\mathcal {X}}(M)}$, und es gilt:

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$ (Leibniz-Regel)
• ${\displaystyle [X,[Y,Z]]={\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$ (Jacobi-Identität)

Dadurch wird ${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$ zu einer Lie-Algebra.

Für ein Tensorfeld ${\displaystyle T}$ und ein Vektorfeld ${\displaystyle X}$ mit lokalem Fluss ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ist die Lie-Ableitung von ${\displaystyle T}$ bezüglich ${\displaystyle X}$ definiert als

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\Phi _{t}^{*}T|_{t=0}\,.}$

Die Lie-Ableitung ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear in ${\displaystyle X}$ und für festes ${\displaystyle X}$ eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ nicht ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-linear in ${\displaystyle X}$.

Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle X}$ ein Vektorfeld auf ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle \alpha \in \Lambda ^{k+1}(M)}$ eine ${\displaystyle (k+1)}$-Differentialform auf ${\displaystyle M}$. Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \alpha }$ definieren:

${\displaystyle (i_{X}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,}$

und erhält die Abbildung:

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\to \Lambda ^{k}(M),\;\alpha \mapsto i_{X}\alpha }$

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle i_{X}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear,
• für beliebiges ${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$ gilt ${\displaystyle i_{fX}\alpha =fi_{X}\alpha }$,
• für eine beliebige Differentialform ${\displaystyle \beta }$ über ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle \alpha \in \Lambda ^{k}(M)}$ gilt

${\displaystyle i_{X}(\alpha \wedge \beta )=(i_{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (i_{X}\beta )}$.

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes ${\displaystyle X}$ für Funktionen über ${\displaystyle M}$ definiert:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df}$.

Für echte Differentialformen kann die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes ${\displaystyle X}$ durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =\left(i_{X}\circ d\ +d\circ i_{X}\right)\alpha }$

berechnet werden. Diese Gleichung kann aus der Definition der Lie-Ableitung für Tensorfelder hergeleitet werden. Sie trägt den Namen Cartan-Formel.^[3]

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\alpha =f{\mathcal {L}}_{X}\alpha +df\wedge i_{X}\alpha }$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha }$

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis. Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2.
• Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0

1. ↑ R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 277–279.
2. ↑ Anthony M. Bloch: Nonholonomic mechanics and control. Springer, New York 2003, ISBN 0-387-95535-6, S. 87. 
3. ↑ John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 473–477.