Als Richard Potts vier Jahre alt war, zogen seine Eltern mit ihm nach Barbados. 1761 kehrte die Familie nach Maryland zurück und ließ sich in Annapolis nieder, wo der Sohn später die Rechtswissenschaften studierte. Nachdem er seine Zulassung als Rechtsanwalt erhalten hatte, praktizierte er ab 1775 im Frederick County. Nach Ausbruch der Revolution gehörte Potts im Jahr 1776 dem dortigen Committee of Observation an; im Jahr darauf wurde er militärischer Berater des Gouverneurs von Maryland. Während dieser Zeit fungierte er auch als Clerk am Gerichtshof des Frederick County, was er bis 1778 blieb. 1784 wurde er Staatsanwalt für die Countys Frederick, Montgomery und Washington.
Als Föderalist wurde Potts in den Senat der Vereinigten Staaten gewählt, wo er am 10. Januar 1793 die Nachfolge des zurückgetretenen Charles Carroll antrat. Er verblieb bis zu seinem eigenen Rücktritt am 24. Oktober 1796 im Kongress. Danach übernahm er bis 1801 wieder den Posten des Chief Judge im fünften Gerichtskreis von Maryland, ehe er zum beigeordneten Richter am Obersten Gerichtshof des Staates, dem Maryland Court of Appeals, ernannt wurde. Richard Potts ging 1804 in den Ruhestand und verstarb am 26. November 1808 in Frederick. Er wurde auf dem All Saints’ Parish Cemetery beigesetzt; später erfolgte eine Umbettung auf den Mount Olivet Cemetery in Baltimore.