Bereits in der Highschool nahm er als Darsteller und Regisseur an Schulaufführungen teil. Als professioneller Schauspieler debütierte er 1949 mit der Rolle des Gabey in dem Musical On the Town. Danach ging er nach New York City. Zunächst schlug er sich mit Jobs als Verkäufer und Beleuchter in Manhattan durch. Er diente vier Jahre in der US Navy und nahm am Koreakrieg teil. Anschließend studierte er im Zuge der G. I. Bill of Rights Schauspiel in einem Kurs der Organisation American Theatre Wing.[1]
Bei einem Einsatz als Lichtdouble in der Show Name That Tune wurde ein Agent auf ihn aufmerksam. Über ihn bekam Morse seine erste Filmrolle, einen kleinen Auftritt in dem Kriegsmelodram Auch Helden können weinen, bei dem er nicht im Abspann erschien. Außerdem vermittelte der Agent ihm ein Treffen mit Theaterregisseur Tyrone Guthrie, der daraufhin die Rolle des Barnaby Tucker in der Broadway-Komödie The Matchmaker mit ihm besetzte. Morse spielte diesen Part von 1955 bis 1957 am New Yorker Booth Theater und anschließend auch im gleichnamigen Spielfilm von Joseph Anthony. Ab diesem Zeitpunkt stand er kontinuierlich auf der Bühne und vor der Kamera, wobei er als Theaterschauspieler erfolgreicher war.
Für seinen zweiten Broadway-Auftritt als Ted Snow in dem Musical Say, Darling wurde Morse mit einem Theatre World Award ausgezeichnet[2] und erstmals für einen Tony Award nominiert. Letzteres gelang ihm im Jahr darauf erneut mit dem Musical Take Me Along, bei dem er als Ko-Star geführt wurde, während Jackie Gleason und Eileen Herlie (1918–2008) die Hauptrollen spielten. Ab 1961 übernahm Morse die zentrale Rolle des beruflich ambitionierten Fensterputzers J. Pierrepont Finch in der Pulitzer-Preis-prämierten Musical-Komödie How to Succeed in Business Without Really Trying. Diese brachte ihm im Folgejahr seinen ersten Tony Award in der Kategorie Bester Hauptdarsteller in einem Musical ein.[3]
Auch für die darauf folgende Hauptrolle im Musical Sugar, einer Adaption von Manche mögen’s heiß, konnte Morse Preise wie den Drama Desk Award und eine weitere Tony-Nominierung gewinnen. Seine letzte Broadway-Rolle hatte er 1990 als Solo-Darsteller in Jay Presson Allens Theaterstück Tru, wo er Truman Capote verkörperte. Dafür wurde er zum zweiten Mal mit einem Tony Award ausgezeichnet.
Ab Mitte der 1950er-Jahre wirkte Morse an Film- und Fernsehproduktionen mit. Seine erste nennenswerte Kinorolle hatte er 1958 in der Liebeskomödie Die Heiratsvermittlerin an der Seite von Shirley MacLaine und Anthony Perkins. In den 1960er-Jahren spielte er mehrere Hauptrollen in Hollywood-Filmen. Darunter zählen unter anderem die des jungen Dichters Dennis Barlow auf Abwegen in Hollywood in der ebenso schwarzhumorigen wie starbesetzten Evelyn-Waugh-Verfilmung Tod in Hollywood (1965) von Tony Richardson, sowie die des Ed Stander in der Komödie Leitfaden für Seitensprünge (1967) an der Seite von Walter Matthau. Im selben Jahr spielte er auch die Hauptrolle in der Verfilmung von How to Succeed in Business Without Really Trying (dt. Wie man Erfolg hat, ohne sich besonders anzustrengen) unter Regie von David Swift. 1968 übernahmen er und Doris Day die Hauptrollen in Wo warst Du als das Licht ausging?. In dem wechselhaften Hollywood der 1960er-Jahre, unmittelbar vor Beginn des New Hollywood, konnte Morse sich aber nicht als Star etablieren.
Ab den 1970ern war er vorwiegend als Gastdarsteller in Fernsehserien zu sehen, daneben blieb das Theater sein eigentliches Metier.[4] 1992 wurde das Broadwaystück Tru im Rahmen der PBS-Reihe American Playhouse für das Fernsehen verfilmt. Er übernahm auch hier die Rolle des Capote und gewann dafür einen Emmy in der Kategorie Outstanding Lead Actor in a Miniseries or Special.[5]
Im Alter von 76 Jahren, als Morse seine Schauspielkarriere bereits als beendet betrachtete,[1] wurde ihm die wiederkehrende Rolle des Bertram Cooper in der Fernsehserie Mad Men angeboten. Diese Entscheidung ging von dem Erfinder der Serie Matthew Weiner aus, der sich im Laufe seiner Recherchen über die 1960er Jahre unter anderem den Leitfaden für Seitensprünge angesehen und Morse so entdeckt hatte. Von 2007 bis 2015 gehörte dieser zur festen Besetzung der Serie und wurde fünfmal für einen Emmy in der Kategorie Outstanding Guest Actor in a Drama Series nominiert.[5]
In der Rolle des Seniorpartners einer Werbefirma war Morse so beliebt, dass seine Figur ab der dritten Staffel von einer wiederkehrenden Nebenrolle zu einer der Hauptrollen hochgestuft wurde. 2016 verkörperte Morse die Nebenrolle des Journalisten Dominick Dunne in der ersten Staffel der Serie American Crime Story, die von dem Strafprozess gegen O. J. Simpson handelt.
Morse war von 1960 bis 1981 mit der Tänzerin und Theaterdarstellerin Carole D’Andrea verheiratet. Aus dieser Ehe gingen drei Töchter hervor, unter anderem die Schauspielerin Robin Morse (* 1963).[6] 1989 heiratete er Elizabeth Roberts, mit der er zwei weitere Kinder bekam.[7] Er starb am 20. April 2022 im Alter von 90 Jahren in Los Angeles.[8][9][10][11]
