Satz von Gauß-Lucas

Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms ${\displaystyle P}$ und dessen Ableitung ${\displaystyle P'}$ an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung ${\displaystyle P'}$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von ${\displaystyle P}$ liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

Sei ${\displaystyle P}$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei ${\displaystyle P^{\prime }}$ die Ableitung von ${\displaystyle P}$. Dann liegen alle Nullstellen von ${\displaystyle P^{\prime }}$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von ${\displaystyle P}$.

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben,^[1] jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.^[2]

Die Nullstellen von ${\displaystyle P'}$ liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte

${\displaystyle \omega _{jk}={\frac {z_{j}+(n-1)z_{k}}{n}}}$

mit ${\displaystyle j\,,k=1,\ldots ,n}$ und ${\displaystyle j\neq k}$, wobei ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ die ${\displaystyle n}$ Nullstellen von ${\displaystyle P}$ sind.^[3]

Wenn ${\displaystyle P}$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung ${\displaystyle P^{\prime }}$ innerhalb der Jensen-Scheiben,^[4] die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von ${\displaystyle P}$ bestimmt sind.^[5] Diese Verschärfung des Satzes von Gauß-Lucas wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.^[6][7]

1. ↑ C. F. Gauß: Werke, Band 3, Göttingen 1866, S. 120:112
2. ↑ F. Lucas: Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. in: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences (89), Paris 1979, S. 224–226
3. ↑ W. Specht: Eine Bemerkung zum Satze von Gauß-Lucas, in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (62), 1959, S. 85–92
4. ↑ Eric W. Weisstein: Jensen Disk. In: MathWorld (englisch).
5. ↑ Eric W. Weisstein: Jensen's Theorem. In: MathWorld (englisch).
6. ↑ J. L. Walsh: On the Location of the Roots of the Derivative of a Polynomial. Annals of Mathematics, Second Series, vol. 22, no. 2, Mathematics Department, Princeton University, 1920, pp. 128–144, doi:10.2307/1967860
7. ↑ E. B. Van Vleck: On the location of roots of polynomials and entire functions. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 35, no. 5, American Mathematical Society, 1929, pp. 643–683, doi:10.1090/S0002-9904-1929-04794-3

• Satz von Marden

• Craig Smorynski: MVT: A Most Valuable Theorem. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, S. 411–414

Commons: Satz von Gauß-Lucas – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Lucas–Gauss Theorem von Bruce Torrence, des Wolfram Demonstrations Projects.
• Satz von Gauss-Lucas interaktiv