Jugó en las categorías inferiores del Phantoms Braunschweig de su localidad natal hasta llegar al primer equipo en 2011. En su primera temporada como profesional promedió 2,3 puntos por partido, jugando poco más de ocho minutos por encuentro.[1] Ya en su segunda temporada adquirió más protagonismo, jugando más de 25 minutos por partido, y promediando 12,0 puntos, 3,2 asistencias y 2,3 rebotes.[2] Esa temporada fue elegido mejor jugador joven y jugador más mejorado de la Basketball Bundesliga.[3]
Tras 5 temporadas en Atlanta, las dos últimas como titular indiscutible, el 25 de julio de 2018, es traspasado a Oklahoma City Thunder, en un intercambio entre tres equipos.[6]
Tras una temporada en Los Ángeles, rechaza una extensión de contrato con los Lakers por valor de $84 millones en cuatro años,[8] para firmar, el 11 de agosto de 2021, con Boston Celtics por $5,9 millones y un año.[9]
Schröder jugó y ganó dos veces el Campeonato Alemán de Baloncesto 3x3: en 2016 con el equipo Avenue Berlin[14] y en 2018 con el equipo Der Stamm.[15]
En septiembre de 2022 disputó con el combinado absoluto alemán el EuroBasket 2022, donde ganaron el bronce, al vencer en la final de consolación a Polonia. Fue nombrado integrante del mejor quinteto del torneo.
Durante agosto y septiembre de 2023 fue integrante de la selección de Alemania que participó en el Mundial de 2023 celebrado en Asia, y que ganó el oro, tras ganar la final ante Serbia. Donde además fue elegido MVP del torneo e integrante del mejor quinteto.[16][17]
En los Juegos Olímpicos de París 2024 fue el deportista abanderado de la delegación alemana en el desfile inaugural. Entre julio y agosto de 2024 fue parte de la selección absoluta de Alemania, que disputó los Juegos Olímpicos de París, finalizando en cuarta posición, tras perder la final de consolación ante Serbia. Al término del torneo fue includido en el mejor quinteto.[18]