Problema de Thomson

El objetivo del problema de Thomson es determinar la configuración de energía potencial electrostática mínima de N electrones restringidos a la superficie de una esfera unitaria que se repelen entre sí con una fuerza dada por la Ley de Coulomb, el físico J. J. Thomson planteó el problema en 1904^[1]​ después de proponer un modelo atómico, más tarde llamado modelo atómico de Thomson basado en su conocimiento de la existencia de electrones cargados negativamente dentro de átomos con carga neutra.

Los problemas relacionados incluyen el estudio de la geometría de la configuración de energía mínima y el estudio del comportamiento de N grande de la energía mínima.

El sistema físico incorporado por el problema de Thomson es un caso especial de uno de los dieciocho problemas matemáticos no resueltos propuestos por el matemático Steve Smale - "Distribución de puntos en las 2-esferas".^[2]​ La solución de cada problema de N-electrón se obtiene cuando la configuración de N-electrón restringida a la superficie de una esfera de radio unidad, ${\displaystyle r=1}$, produce un mínimo de energía potencial electrostática global, ${\displaystyle U(N)}$.

La energía de interacción electrostática que se produce entre cada par de electrones de cargas iguales (${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$, con ${\displaystyle e}$ la carga eléctrica de un electrón) está dada por la Ley de Coulomb,

${\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.}$

Aquí, ${\displaystyle k_{e}}$ es la constante de Coulomb y ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$ es la distancia entre cada par de electrones localizados en los puntos de la esfera definidos por vectores ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ and ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ respectivamente.

Las unidades simplificadas de ${\displaystyle e=1}$ and ${\displaystyle k_{e}=1}$ se usan sin pérdida de generalidad. Entonces,

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

La energía potencial electrostática total de cada configuración de N-electrón se puede expresar como la suma de todas las interacciones por pares

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

La minimización global de ${\displaystyle U(N)}$ sobre todas las colecciones posibles de N puntos distintos se encuentra típicamente mediante algoritmos de minimización numérica.

La solución del problema de Thomson para dos electrones se obtiene cuando ambos electrones están lo más separados posible en lados opuestos del origen, ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$, o

${\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}$

Las configuraciones mínimas de energía han sido rigurosamente identificadas en solo unos pocos casos.

• Para N = 1, la solución es trivial ya que el electrón puede residir en cualquier punto de la superficie de la esfera de la unidad. La energía total de la configuración se define como cero ya que el electrón no está sujeto al campo eléctrico debido a otras fuentes de carga.
• Para N = 2, la configuración óptima consiste en electrones en puntos antipodales.
• Para N = 3, los electrones residen en los vértices de un triángulo equilátero alrededor de un gran círculo.^[3]​
• Para N = 4, los electrones residen en los vértices de un tetraedro regular.
• Para N = 5, una solución matemáticamente rigurosa asistida por computadora se informó en 2010 con electrones que residen en los vértices de una bipirámide triangular.^[4]​
• Para N = 6, los electrones residen en vértices de un octaedro regular.^[5]​
• Para N = 12, los electrones residen en los vértices de un icosaedro regular.^[6]​

En particular, las soluciones geométricas del problema de Thomson para N = 4, 6 y 12 electrones se conocen como sólidos platónicos cuyas caras son todos triángulos equiláteros congruentes, las soluciones numéricas para N = 8 y 20 no son las configuraciones poliédricas convexas regulares de los dos sólidos platónicos restantes, cuyas caras son cuadradas y pentagonales, respectivamente.

También se puede pedir para los estados de fondo de las partículas interactúen con potenciales arbitrarios, para ser matemáticamente preciso, deje que f sea una función de valor real decreciente y defina la energía funcional. ${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)}$

Tradicionalmente, se considera ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$ también conocido como Riesz ${\displaystyle \alpha }$-kernels. Para los kernels integrales de Riesz,^[7]​ ver; para los kernels de Riesz no integrables, se cumple el teorema de bagel de semilla de amapola, ver.^[8]​ Los casos notables incluyen α = ∞, el problema de Tammes (embalaje); α = 1, el problema de Thomson; α = 0, el problema de Whyte (para maximizar el producto de las distancias).

También se pueden considerar configuraciones de N puntos en una esfera de mayor dimensión. Ver diseño esférico.

El problema de Thomson es una consecuencia natural del modelo atómico de Thomson en ausencia de su carga de fondo positiva uniforme.^[10]​

Aunque la evidencia experimental llevó al abandono del modelo de pudín de ciruela de Thomson como un modelo atómico completo, las irregularidades observadas en soluciones energéticas numéricas del problema de Thomson se han encontrado para corresponderse con el llenado de capas de electrones en átomos naturales en toda la tabla periódica de los elementos.^[11]​

El problema de Thomson también desempeña un papel en el estudio de otros modelos físicos, incluidas las burbujas multielectrópicas y el ordenamiento superficial de gotas metálicas líquidas confinadas en trampas Paul.

El problema generalizado de Thomson surge, por ejemplo, para determinar las disposiciones de las subunidades proteicas que comprenden las capas de virus esféricos.^[12]​ Las "partículas" en esta aplicación son agrupaciones de subunidades de proteínas dispuestas en un caparazón, otras realizaciones incluyen arreglos regulares de partículas coloidales en colloidosomas, propuestas para la encapsulación de ingredientes activos tales como fármacos, nutrientes o células vivas, patrones de fullerenos de átomos de carbono y la teoría TRePEV. Un ejemplo con interacciones logarítmicas de largo alcance es provisto por los vórtices Abrikosov que se formarían a bajas temperaturas en una capa metálica superconductora con un gran monopolo en el centro.

En la siguiente tabla ${\displaystyle N}$ es el número de puntos (cargas) en una configuración, ${\displaystyle E_{1}}$ es la energía, el tipo de simetría se da en notación Schönflies (ver Grupos de puntos en tres dimensiones), y ${\displaystyle r_{i}}$ son las posiciones de los cargos. La mayoría de los tipos de simetría requieren que la suma vectorial de las posiciones (y, por lo tanto, el momento dipolar químico) sea cero.

Es costumbre considerar también el poliedro formado por la envolvente convexa de los puntos, por lo tanto, ${\displaystyle v_{i}}$ es el número de vértices donde el número dado de bordes se encuentra, '${\displaystyle e}$ es el número total de bordes, ${\displaystyle f_{3}}$ es el número de caras triangulares, ${\displaystyle f_{4}}$ es el número de cuadriláteros caras y ${\displaystyle \theta _{1}}$ es el ángulo más pequeño subtendido por vectores asociados con el par de carga más cercano. Tenga en cuenta que las longitudes de los bordes generalmente no son iguales; por lo tanto (excepto en los casos N = 4, 6, 12, 24) la envolvente convexa es topológicamente equivalente al poliedro uniforme o al sólido de Johnson listado en la última columna.^[12]​

N	${\displaystyle E_{1}}$	Simetría	${\displaystyle \left|\sum \mathbf {r} _{i}\right|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5}}$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7}}$	${\displaystyle v_{8}}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle f_{3}}$	${\displaystyle f_{4}}$	${\displaystyle \theta _{1}}$	Poliedro equivalente
2	0.500000000	${\displaystyle D_{\infty h}}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	[1] Digone
3	1.732050808	${\displaystyle D_{3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	1	–	120.000°	[2] Triángulo
4	3.674234614	${\displaystyle T_{d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	[3] Tetraedro
5	6.474691495	${\displaystyle D_{3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	Bipirámide triangular
6	9.985281374	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	Octaedro
7	14.452977414	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	Bipirámide pentagonal
8	19.675287861	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	Antiprisma cuadrado
9	25.759986531	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	Prisma triangular triaumentado
10	32.716949460	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	Bipirámide cuadrada giroelongada
11	40.596450510	${\displaystyle C_{2v}}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	[4] Icosaedro con borde cerrado
12	49.165253058	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	Icosaedro
13	58.853230612	${\displaystyle C_{2v}}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	Dipyramid hexagonal giroelongado
15	80.670244114	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°
18	120.084467447	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	Cubo romo
25	243.812760299	${\displaystyle C_{s}}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	${\displaystyle C_{2}}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	${\displaystyle C_{3v}}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°
33	440.204057448	${\displaystyle C_{s}}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	${\displaystyle C_{2}}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	${\displaystyle T_{d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	${\displaystyle C_{s}}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	${\displaystyle O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	${\displaystyle C_{3}}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	${\displaystyle C_{3}}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	${\displaystyle C_{2}}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${\displaystyle C_{2}}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	${\displaystyle C_{1}}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	${\displaystyle C_{2}}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	${\displaystyle C_{2}}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	${\displaystyle C_{2}}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°
73	2320.633883745	${\displaystyle C_{2}}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	${\displaystyle C_{2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	${\displaystyle C_{2}}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	${\displaystyle C_{s}}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	${\displaystyle C_{2}}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	${\displaystyle C_{2}}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	${\displaystyle C_{2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	${\displaystyle C_{2}}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	${\displaystyle C_{2}}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	${\displaystyle C_{2}}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	${\displaystyle C_{2}}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${\displaystyle C_{2}}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	${\displaystyle C_{2}}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	${\displaystyle C_{2}}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	${\displaystyle C_{2}}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	${\displaystyle C_{2}}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	${\displaystyle C_{2}}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	${\displaystyle C_{2}}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	${\displaystyle C_{2}}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	${\displaystyle C_{2}}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	${\displaystyle C_{2}}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	${\displaystyle C_{2}}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	${\displaystyle C_{3}}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	${\displaystyle C_{2}}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	${\displaystyle C_{2}}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	${\displaystyle C_{s}}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	${\displaystyle C_{3}}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°
123	6811.827228174	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	${\displaystyle C_{2}}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	${\displaystyle D_{4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	${\displaystyle C_{2}}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	${\displaystyle C_{2}}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	${\displaystyle C_{2}}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	${\displaystyle C_{2}}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°
133	7998.179212898	${\displaystyle C_{3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	${\displaystyle C_{2}}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	${\displaystyle C_{2}}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	${\displaystyle C_{1}}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	${\displaystyle C_{2}}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	${\displaystyle C_{2}}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	${\displaystyle C_{s}}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	${\displaystyle C_{2}}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	${\displaystyle C_{1}}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	${\displaystyle C_{2}}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	${\displaystyle C_{2}}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	${\displaystyle C_{2}}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	${\displaystyle C_{2}}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	${\displaystyle C_{2}}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	${\displaystyle C_{2}}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	${\displaystyle C_{2}}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	${\displaystyle C_{2}}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	${\displaystyle C_{s}}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	${\displaystyle C_{s}}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	${\displaystyle C_{2}}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	${\displaystyle C_{1}}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	${\displaystyle C_{1}}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	${\displaystyle C_{2}}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	${\displaystyle C_{1}}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	${\displaystyle C_{2}}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	${\displaystyle C_{1}}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	${\displaystyle C_{2}}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	${\displaystyle C_{3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	${\displaystyle C_{1}}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°
193	17144.564740880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	${\displaystyle C_{1}}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	${\displaystyle C_{2}}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	${\displaystyle C_{2}}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	${\displaystyle C_{1}}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	${\displaystyle C_{1}}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	${\displaystyle C_{s}}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°
214	21169.910410375	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°
282	37147.294418462	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°
292	39877.008012909	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	${\displaystyle C_{2}}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°
382	68839.426839215	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	${\displaystyle I}$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	${\displaystyle T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	${\displaystyle T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

Según una conjetura, si ${\displaystyle m=n+2}$ p es el poliedro formado por la envolvente convexa de m puntos, q es el número de caras cuadrilaterales de p, entonces la solución para m electrones es f(m): ${\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q}$^[13]​

• Henry Cohn and Abhinav Kumar, "Universally optimal distribution of points on spheres". J. Amer. Math. Soc. 20 (2007), no. 1, 99–148
• Cris Cecka, Mark J. Bowick, and Alan A. Middleton: http://thomson.phy.syr.edu/ Archivado el 9 de abril de 2018 en Wayback Machine.
• T. Erber and G. M. Hockney, "Complex Systems: Equilibrium Configurations of ${\displaystyle N}$ Equal Charges on a Sphere ${\displaystyle (2\leq N\leq 112)}$", Advances in Chemical Physics, Volume 98, pp. 495–594, 1997.
• P. D. Dragnev, D. A. Legg, and D. W. Townsend, "Discrete logarithmic energy on the sphere". Pacific J. Math. 207 (2002), no. 2, 345–358.
• David J. Wales and Sidika Ulker: http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson/table.html and also http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson2/table.html