Aritmetika (αριθμός=zenbaki grezierako hitzetik datorrena), matematikako adar zahar eta elementalena da. Eguneroko bizitzan, aritmetika zenbakiekin egiten ditugun zenbait eragiketa (batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa) bere barnean hartzen dituen matematikaren atala da. Edonork edozertarako erabil dezake aritmetika: eguneroko kontaketak, baina baita ere zientziako kalkulu aurreratuenak, aritmetikaz burutzen dira.
Historia
Aritmetika izena oinarrizko eragiketekin —“lau erregelekin”— lotzen da askotan. Baina jadanik Euklidesen Elementuetan, zenbakien eragiketa arruntak baino askoz gehiago aurkitu daiteke, hala nola zenbaki lehenen inguruko emaitzak, zenbaki perfektuak eta abar. Diofantok (K.o. III. mendea) koefizienteosoak dituzten zenbait ekuazio aztertu zituen, soluzio osoak bilatuz, eta hori izan zen Fermaten lanen abiapuntua XVII. mendean. Fermat, Euler eta Gauss izan ziren “goi-mailako aritmetikari” estatus berezia eman ziotenak. Zenbaki osoen propietateak aztertzen dituen matematikaren arloa izendatzeko aritmetika izena guztiz baztertu ez bada ere, gehienetan zenbaki-teoria izenaz ezagutzen da. Zenbaki-multzorik oinarrizkoenaren propietateak helburutzat dituen arren, teknikek ezinbestean irten behar dute hain multzo txikitik, eta zenbaki errealak edo konplexuak eta horien arteko funtzioak erabiltzen dituzten metodoak baliatu behar dira sarritan. Metodoen pisua aljebraikoa edo analitikoa izan, zenbaki-teoriari dagokion adjektiboa jar dakioke (zenbaki-teoria aljebraikoa, zenbaki-teoria analitikoa).
Aritmetika Txinan
Txinako matematika goiztiarra eta haren garapena, munduko beste eremuetan gertatu zenarekin alderatuta, oso desberdina izan zen. Desberdintasun erraldoi honek, bertako matematika era independentean garatu zela pentsatzera eraman ditu matematikariak. Gaur egun gordeta dagoen matematikari buruzko testurik zaharrena Chou Pei Suan Ching (euskaraz: Gnomonen Aritmetika Klasikoa eta Zeruko Bidezidor Biribilak) izeneko liburu bat da, K.a. 300. urte ingurukoa.[1]
Herrialde hartako matematika goiztiarraren ezaugarri nabari bat posizio bidezko sistema hamartarraren erabilera da, hagaxken bidezko zenbatzea bezala ere ezaguna, indoarabiar zenbatze sistema baino zenbait mende lehenago erabilia. Hagaxken bidezko zenbatzeak zenbaki nahiko handiak irudikatzea ahalbidetzen du eta txinatar abakoan kalkuluak egitea ere asko erraztu dezake. "Suan pan"-a asmatu zen urtea zehazterakoan zalantzak sortzen dira, haatik, teknika hau aipatzen duten idatzirik zaharrenak K.a. 190. urtekoak dira. Idatzi horien adibide gisa jar dezakegu Xue Yueren "Formen arteari buruzko ohar gehigarriak" liburua.[1]
Indiar matematika I. mendetik VIII. mendera bitartean iritsi zen bere heldutasunera, posizio-notazioaren asmakizun transzendentala baliatuz, zero zifra baliogabe gisa erabiliz. Mendebaldean bezala, hamar oinarriko zenbaki-sistema bat erabili zuten (hamar digiturekin). Egiptoarrek, greziarrek eta erromatarrek, sistema hamartar bat erabiltzen zuten arren, hau ez zen posizio bidezkoa, zero zenbakia ere ez zuen; azken hau askoz beranduago heldu zitzaien mendebaldeko matematikariei, arabiarrakIberiar penintsulan eta Italian sartu zirenean eskuratu baitzuten.
Zenbatze-sistema hamartarra Süryasiddhantan agertzen da, VI. mendekoa dela dirudien ohar txiki batean. Hinduen lan matematikoak, oro har, astronomiaren arloan oinarritu ziren. Aryabhata (476. urte inguruan jaioa) eta Brahmaguptaren (598. urte inguruan jaioa) kasua dugu hau. 1150ean, Bhaskarak aritmetika tratatu bat idatzi zuen, eta bertan, erro karratuak kalkulatzeko prozedura azaltzen zuen. Lehen eta bigarren mailako ekuazioen teoria bat da, ez dago, greziarrek egiten zuten moduan, era geometrikoan planteatuta, baizik eta aljebraiko gisa izendatu daitekeen modu batean.
VII. mendean, Severo Sebhoktsiriarapezpikuak, miresmenez, aipatu berri dugun era-matematikoari erreferentzia egiten dio, izan ere, metodoari buruz idatzi zuen azalpenean argi utzi zuen jatorrizkoa haratago zihoala. "Zerodun posizio-notazioak" leiho praktiko eta teoriko berri asko ireki zizkion matematikari, haren garapenaren bizkortasuna areagotuz. Gaur egun arruntzat ditugun kalkulu-algoritmoetara, ziurrenik, ez ginen sekula iritsiko zenbaki arabiarrak eta posiziozko notazio hamartarra inoiz asmatu izan ez balira.
Oinarrizko eragiketak
Aritmetikaren oinarrizko lau eragiketak hurrenak dira:
Proposatutako definizioaren ildotik, substantibo "aritmetikoa", eskola irakaskuntzako lehen graduetan, "Matematika" gisa izendatzen da. Oinarrizko lehen arlo horren bereizketa aljebra sartzen denean nabaritzen hasten da, bertan "hizkiak", letrak, "aldagaiak" eta balio ezezagunak agertzen direlako, bai eta propietate aljebraikoen definizioak ere, esate baterako, oinarrizko aljebrarenak diren kommutatibitatea, elkarkidetza edo distribuzioa.[2]
Oro har, zenbakizko zenbaketak, oinarrizko eragiketez gain, honako hauek ere hartzen ditu: kongruentziak kalkulatzea, faktorizazioa, berreketak eta erroen erauzketak.[3] Ildo horretan, aritmetika terminoa zenbaki osoen gainean egiten diren eragiketak izendatzeko erabiltzeaz gain, mota horretakoak ez diren beste zenbait entitateetan egiten diren eragiketak izendatzeko ere erabiltzen da. Aritmetika terminoa adjektibotzat ere erabiltzen da, progresio aritmetiko batean adibidez.
Aritmetika berreketa-sistemetarako oinarria izan zen. Berreketa an itxura duen adierazpen orori deitzen zaio, bertan, "a" oinarria da eta "n" berretzailea. Haren definizioa aldatu egin daiteke, berreketa barneko duen zenbaki-multzoaren arabera. Zenbaki oso handiak modu praktiko eta sinple batean adierazteko dagoen biderik onenetarikoa da.
Zenbakiak sinplifikatzeko helburuarekin, aritmetikak zenbait sinbolo eta adierazpen berri sortu zituen, ezagunenak erro kubikoak eta karratuak dira. Hauek zenbaki bat irakurtzeko era errazago bat eskaintzen dute, irakurketa-zenbaki zailak adierazteko bikainak dira, batez ere matematikako problemak ebazterako unean.
Zatikiak eta ehunekoak ere aritmetikako lehenengo sinboloetatik jaio ziren erroak dira.
