Elipse

Geometrian, elipsea bi puntu finkoetarako distantzien batura konstantea duten planoko puntu guztien leku geometrikoa da. Aldi berean, kono bati ebakidura zeihar bat egitean agertzen den kurba da. Horrela, elipsea konika-mota bat da, parabola eta hiperbola bezala. Zirkunferentzia elipse berezi bat da, zeina konoari ebakidura zuzen bat eginez agertzen den.

Errealitatean maiz agertzen den kurba bat da. Horrela, eguzki-sistemako planetek elipse motako orbita batean zehar egiten dute bira eguzkiaren inguruan. Zirkunferentzia bat proiektatuz sor daitekeen kurba ere bada elipsea.

Elipse bateko puntuetatik F₁ eta F₂ bi puntu finkoetarako distantzien batura berdina da beti. Bi puntu finkoei foku deritze.

Elipsea kono bat plano zeihar batez ebakitzean sortzen den konika da.

Saturnoko eraztunek zirkunferentzia bat osatzen dute, baina proiekzio efektu bat dela eta, zeihar behatzen badira, elipse moduan agertzen dira.

Planetek elipse bati jarraiki egiten dute bira eguzkiaren inguruan eta elipse horretan eguzkia foku batean dago kokaturik, Keplerren lehenengo legearen arabera.

Elipsearen zentroa 0 puntuan kokaturik, ardatz nagusia -atik ara doan zuzenkia da eta ardatz txikia -btik bra doana. Bi ardatzak elkarzutak dira eta elipsearen simetria-ardatzak dira gainera.

Fokuak -c eta c puntuetan kokaturik daude, zentrotik distantzia berera. Elipseko puntu orotik bi fokuetara dagoen distantzien batura bat dator ardatz nagusiaren luzerarekin: 2a. Gainera, berdintza hau betetzen da: a²+b²=c².

Elipsearen eszentrikotasuna honela definitzen da: e=c/a. Beraz, c=ea betetzen da. Eszentrikotasuna zenbat eta txikiagoa izan, elipsea orduan eta borobilagoa da.

Zuzentzaileak -D eta D dira eta fokuen bertikaletik elipsearen zuzen tangenteak ardatz nagusiarekiko ebaki-puntuan altxatzen diren elkarzutak dira. Gainera, eszentrikotasuna zuzentzaileen arteko distantziaren eta ardatz nagusiaren luzeraren arteko konstante proportzionala ere bada: e=2a/2d=a/d.

Elipsearen ekuazio kanonikoa bere ardatzak abzisa eta ordenatuen ardatzekiko paraleloak direnean erabiltzen da.

• Elipsea ardatz nagusia X ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:

${\displaystyle {\frac {(x-x_{1})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{1})^{2}}{b^{2}}}=1}$

• Elipsearen ardatz nagusia X ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

• Elipsearen ardatz nagusia Y ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:

${\displaystyle {\frac {(x-x_{1})^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-y_{1})^{2}}{a^{2}}}=1}$

• Elipsearen ardatz nagusia Y ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1}$

Frogapena, ardatz nagusia X ardatza izanik, puntu batetik fokuetarako distantzien batura erabiliz egiten da:

• elipsearen ${\displaystyle x,\ y\,}$ puntu batetik ${\displaystyle F_{1}:(-c,0)\,}$ eta ${\displaystyle F_{2}:(c,0)\,}$ fokuetarako distantzien batura konstantea eta ${\displaystyle 2a\,}$ ardatz nagusiarekin bat datorrenez:

${\displaystyle d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a\rightarrow \,}$

${\displaystyle {\sqrt {(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}=2a\,;}$

• bigarren erroa beste aldera eraman ondoren, karratura berretuz:

${\displaystyle (x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}+(x-c)^{2}-y^{2}\,;}$

• erroa bakanduz eta laburtuz:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}&={\frac {-1}{4a}}(x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}-4a^{2}-x^{2}+2xc-c^{2}-y^{2})\\&=-{\frac {1}{4a}}{4xc-4a^{2}}\\&=a-{\frac {c}{a}}x.\end{aligned}}}$

• bi aldeak karratura berretuz eta laburtuz:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}&=a^{2}-2cx+{\frac {c^{2}}{a^{2}}}x\\x^{2}{\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}+y^{2}&=a^{2}-c^{2}\\{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}&=1.\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}\,}$ aldaketa eginez:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Zentroa ${\displaystyle x_{1},\ y_{1}\,}$ puntuan dagoenean nahikoa da, zentroa jatorria bihurtu ${\displaystyle X=x-x_{1}\,}$ eta ${\displaystyle Y=y-y_{1}\,}$ aldagai-aldaketak erabiliz, aurreko formula erabili eta ondoren, aldagai-aldaketa desegin. Ardatz nagusia bertikala denena, ${\displaystyle x\,}$ eta ${\displaystyle y\,}$ aldagaiak aldatzea besterik ez da egin behar.

${\displaystyle 2b\,}$ ardatz txikiaren luzera da, ${\displaystyle x=0\,}$ eginez, ${\displaystyle y=\pm b\,}$ elipseko puntuen arteko aldea, hain zuzen.

Konziklikoak ez diren, hots, zirkunferentia berean ez dauden lau puntuetatik elipse bakarra igarotzen da. Puntuak ${\displaystyle (x_{1},\ y_{1}),(x_{2},\ y_{2}),(x_{3},\ y_{3}),(x_{4},\ y_{4})}$ izanik, determinante hau garatuz eratzen da elipsearen ekuazioa:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}&y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\x_{4}^{2}&y_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&1\end{vmatrix}}}$