Share to:

−1 (luku)

−1 on matematiikassa negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin −2 ja pienempi kuin 0. Se on siis suurin negatiivinen kokonaisluku.

Luku −1 on luvun 1 vastaluku, jolloin $-1+1=1+(-1)=0$ .

Luku −1 saadaan myös Eulerin yhtälöstä, kun $\theta =\pi$ : $e^{i\pi }=-1$ .

Algebrallisia ominaisuuksia

Kun jokin luku kerrotaan −1:llä, luvun etumerkki vaihtuu:

(-1)\cdot x=-x.

Toisin sanoen luku muuttuu vastaluvukseen, kun se kerrotaan luvulla −1.

Kun luku −1 kerrotaan itsellään saadaan 1: $(-1)(-1)=1$ . Tämä on toinen tapa sanoa, että luku 1 on luvun −1 vastaluku.

Kokonaislukupotenssit

Kun luku −1 korotetaan parilliseen kokonaisluku potenssiin saadaan arvo 1: $(-1)^{2n}=1,n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ . Korotettaessa lukua parittomaan kokonaislukupotenssiin saadaan arvo −1: $(-1)^{2n+1}=-1,n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ .

On määritelty, että x⁻¹ = 1/x, mikä tarkoittaa sitä, että luvun korottaminen potenssiin −1 on sama kuin luvun muuttaminen käänteisluvukseen. Luku –1 on itsensä käänteisluku:

(-1)^{-1}={1 \over -1}={(-1)1 \over (-1)(-1)}={-1 \over 1}=-1

Murtopotenssit: yhteys kompleksilukuihin

Kompleksilukujen teoriassa imaginaariyksikkö i on määritelty luvun −1 avulla:

i^{2}=-1

.^[1]

Toisin sanoen, vaikka luvulla -1 ei ole neliöjuurta reaalilukujen joukossa, sille voidaan määritellä neliöjuuri ${\sqrt {(-1)}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=i$ . Tämä johtaa kuntalaajennokseen: reaaliluvuista kompleksilukuihin.

Luku −1 liittyy Eulerin identiteettiin, sillä $e^{i\pi }=-1\,\!.$ Identiteetistä seuraa, että reaalilukupotenssiin korotus tuottaa yleisesti kompleksiluvun (jonka itseisarvo on 1):

(-1)^{x}=(e^{i\pi })^{x}=e^{i\pi x}=\cos(x\pi )+i\sin(x\pi )

Esimerkiksi jos taskulaskimessa ei ole kompleksilukumoodia, niin laskutoimitus $(-1)^{1,23}$ ei onnistu.

Esimerkki käytöstä

Luvun −1 avulla voidaan mallintaa esim. jaksollista binääristä lukujonoa b(n), n = 0, 1, 2, …

Jono 0 1 0 1 0 1 ... saadaan aikaan mallilla

b(n)={1 \over 2}[1-(-1)^{n}]

Tilanmuutosten taajuutta voidaan säätää jakamalla indeksi n ja ottamalla lopputuloksesta kokonaislukuosa lattia-funktiolla. Esim. jono 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1… saadaan mallilla

b(n)={1 \over 2}[1-(-1)^{\left\lfloor {n \over 3}\right\rfloor }]

Jonon vaiheeseen voidaan vaikuttaa sijoittamalla indeksin n paikalle suurennettu tai pienennetty arvo, esimerkiksi

b(n)={1 \over 2}[1-(-1)^{\left\lfloor {n+1 \over 3}\right\rfloor }]

tuottaa jonon 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0…

Lähteet

↑ Simo K. Kivelä: Kompleksiluvut matta.hut.fi. 23.10.2012. Viitattu 27.7.2017.

Read other articles:

Tom and Jerry: The Movie (video game)

1992 video gameTom and Jerry: The MovieMaster system cover artDeveloper(s)SIMS (GG)Sanritsu Denki (MS)Publisher(s)SegaPlatform(s)Master System, Game GearReleaseMaster SystemEU: October 1, 1992Game GearNA: July 14, 1993[1][2]EU: 1993JP: June 25, 1993Genre(s)PlatformMode(s)Single-player Tom and Jerry: The Movie (トム＆ジェリーザムービー), also known as Tom and Jerry, is a platform game developed and published by Sega in 1992 for the Master System. In 1993, the game...

Pedda Manushulu (1954 film)

1954 Indian filmPedda ManushuluPosterDirected byK. V. ReddyWritten byK. V. ReddyD. V. Narasa RajuD. B. G. TilakProduced byK. V. ReddyStarringJandhyala Gaurinatha SastriMudigonda LingamurthyRelangiSriranjani Jr.ChadalavadaVangaraA.V.Subba RaoRamachandra KasyapaCinematographyB. N. Konda ReddyEdited byM. S. ManiMusic byOgirala Ramchandra RaoAddepalli Rama RaoProductioncompanyVauhini StudiosRelease dateMarch 11, 1954Running time191 minutesCountryIndiaLanguageTelugu Pedda Manushulu (transl. ...

Lista de aeroportos de Portugal

Mapa de todas as coordenadas do OpenStreetMap Mapa de todas as coordenadas de pesquisa ativa Exportar todas as coordenadas como KML Exportar todas as coordenadas como GeoRSS Mapa de coordinadas micro formatadas Esta é uma lista de aeroportos e aeródromos de Portugal. Lista ICAO IATA cat. sit. nome(s) localização em Portugal

Observatorio metro station

Mexico City metro station For the upcoming Santiago Metro station, see Santiago Metro Line 2. ObservatorioSTC rapid transitPlatforms at Observatorio stationGeneral informationLocationCalzada Minas de ArenaÁlvaro ObregónMexico CityMexicoCoordinates19°23′54″N 99°12′01″W / 19.398237°N 99.200363°W / 19.398237; -99.200363Operated bySistema de Transporte Colectivo (STC)Line(s) (Observatorio - Pantitlán) (Observatorio - Tláhuac)Platforms 2 side platformsTracks...

Chimichurri

Um recipiente contendo o molho chimichurri. O chimichurri é um molho tradicional na Argentina e no Uruguai, ( espanhol )usado principalmente para fazer churrascos. Pode ser usado para marinar a carne antes do preparo, regá-la enquanto assa, ou temperá-la logo antes do consumo. É comumente usado em carne bovina, mas pode ser usado em frango, linguiças como o chouriço, saladas e torradinhas. É uma espécie de vinagrete picante, à base de salsinha, coentro, alho, cebola, tomilho, orégan...

Ariton

Ariton Pueblo Ubicación en el condado de Dale y en el estado de Alabama Ubicación de Alabama en EE. UU.Coordenadas 31°35′54″N 85°43′08″O / 31.598204, -85.718761Entidad Pueblo • País Estados Unidos • Estado Alabama • Condado DaleSuperficie • Total 13.1 km² • Tierra 13.1 km² • Agua (0%) 0 km²Altitud • Media 140 y 140 m s. n. m.Población (2010) • Total 764 hab....

Kelvin Etemesi

Kenyan footballer Kelvin Injili Etemesi Personal informationFull name Kelvin Injili EtemesiDate of birth (1998-09-28) 28 September 1998 (age 25)Height 1.80 m (5 ft 11 in)Position(s) StrikerYouth career WYSASenior career*Years Team Apps (Gls) WYSA 2020– Kangemi AllStars 2022- Nairobi City Stars 23 (12) *Club domestic league appearances and goals, correct as of 22 June 2023 Kelvin Injili Etemesi[1] is a Kenyan striker who turns out for Kenyan Premier League side Na...

Йосиф (Жук)

У Вікіпедії є статті про інших людей із прізвищем Жук. Йосиф (Жук)Жук Йосиф предстоятель Української православної церкви в Америці (засновник) Загальна інформаціяНародження 24 грудня 1872(1872-12-24)Підкамінь, Королівство Галичини та ВолодимиріїСмерть 23 лютого 1934(1934-02-23) (61 р

رافينيا (لاعب كرة قدم مواليد يونيو 1992)

لمعانٍ أخرى، طالع رافينيا (توضيح). هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أكتوبر 2020) رافينيا معلومات شخصية الميلاد 21 يونيو 1992 (31 سنة) الطول 1.75 م (5 قدم 9 بوصة) مركز اللعب وسط الجنسية البرازيل...

History of the Royal Canadian Air Force

Current and past events of Canada's military air services Part of a series on theMilitary history of Canada Military history of... Army Navy Air Force Crown and Forces Militia Colonial New France Acadia Nova Scotia Conflicts Beaver Wars Anglo-French War (1627–29) Acadian Civil War Anglo-Dutch Wars King William's War Queen Anne's War Father Rale's War King George's War Father Le Loutre's War Seven Years' War American Revolutionary War French Revolutionary Wars War of 1812 Pemmican War Rebell...

مجلس المرأة في الحوسبة

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2018) مجلس المرأة في الحوسبة البلد الولايات المتحدة الموقع الرسمي الموقع الرسمي تعديل مصدري - تعديل مجلس المرأة في الحوسبة (بالإنجليزية: Council on Women in Comput...

List of Marathi film actresses

This is a list of Marathi cinema actresses. Marathi cinema refers to Indian films produced in Marathi, the language of the state of Maharashtra, India.[1] Based in old Mumbai, it is the oldest and one of the pioneer film industries of India.[2][3][4][5][6] The following are some of the most popular Indian actresses of their decades: Kamlabai Gokhale (1910s) Lalita Pawar (1920s) Hansa Wadkar (1930s) Usha Kiran (1940s) Nanda (1950s) Jayshree Gadka...

العلاقات الأفغانية الشمال مقدونية

العلاقات الأفغانية الشمال مقدونية أفغانستان شمال مقدونيا أفغانستان شمال مقدونيا تعديل مصدري - تعديل العلاقات الأفغانية الشمال مقدونية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين أفغانستان وشمال مقدونيا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارن...

Civilization V: Brave New World

Civilization V: Brave New WorldBerkas:C5BNWcover.jpgInformasi produksiPengembangFiraxis GamesPenerbit2K GamesPerancangEd Beach Data permainanSeriCivilizationPlatformMicrosoft Windows, Mac OS X, Cloud (OnLive)GenreTurn-based strategy, 4XModeSingle-player, multiplayer PerilisanTanggal rilis[1]Civilization Portal permainan videoL • B • PWBantuan penggunaan templat ini Sid Meier's Civilization V: Brave New World adalah seri ekspansi resmi yang kedua untuk permainan video str...

2019 نهائى كاس الرومانى

الصفحه دى يتيمه, حاول تضيفلها مقالات متعلقه لينكات فى صفحات تانيه متعلقه بيها. 2019 نهائى كاس الرومانى جزء من كاس رومانيا 2018–19 البلد رومانيا الرياضه كورة قدم تاريخ 25 مايو 2019 الفرق المشاركه نادى فيتورول كونستانتانادى استرا جورجو الفايز نادى فيتورول كونستانت�...

2010 AMP Energy Juice 500

2010 AMP Energy Juice 500 Race details[1][2][3] Race 33 of 36 in the 2010 NASCAR Sprint Cup Series Date October 31, 2010 (2010-October-31)Location Talladega Superspeedway, Talladega, AlabamaCourse Permanent racing facility2.66 mi (4.28 km)Distance 188 laps, 500.08 mi (804.8 km)Weather Mostly sunny with a high around 78 °F (26 °C); wind out of the SW at 9 mph.[4]Average speed 163.618 miles per hour (263.318 km/h)Pole positionDrive...

Sinjar (film)

This article may need to be rewritten to comply with Wikipedia's quality standards. You can help. The talk page may contain suggestions. (May 2021) 2018 Indian filmSinjarDirected byPampallyWritten byPampallyProduced byShibu G SuseelanStarringSrinda ArhaanMythiliMusthafaYassarSethulakshmiCinematographySanjay HarrisEdited byLijo PaulMusic bySatheesh RamachandranRelease date 2018 (2018) CountryIndiaLanguageJasari Sinjar is a 2018 Indian Jasari language film written and directed by Pampally....

Ms. Monopoly

Board game Ms. Monopoly is a version of Monopoly that recognizes inventions that women created or contributed to and gives bonuses to female players. It was released by Hasbro in 2019. Gameplay This is a variation of the game Monopoly, so only differences from standard gameplay will be listed. Money bonuses are provided to feminine players in Ms. Monopoly. Women get $1,900 at the start of the game and receive $240 salary when passing “Go,” whereas men start with $1,500 and receive a $200 ...

The Sleepover Club (TV series)

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (April 2020) (Learn how and when to remove this template message) Australian TV series or program The Sleepover ClubGenreTeen sitcomComedy-DramaStarringCaitlin StaseyAshleigh ChisholmHannah WangBasia A'HernEliza TaylorMorgan GriffinRachel WatsonEmanuelle BainsMonique WilliamsKatie Nazer-HenningsJames BellCou...

EFootball Pro Evolution Soccer 2020

eFootball Pro Evolution Soccer 2020 EFootball Pro Evolution Soccer 2020Capa promocional do jogo com Lionel Messi Desenvolvedora(s) PES Productions Publicadora(s) Konami Diretor(es) Yoshikatsu Ogihara Motor Fox Engine Série Pro Evolution Soccer Plataforma(s) Microsoft WindowsPlayStation 4Xbox OneAndroidiOS Lançamento INT: 11 de setembro de 2019AS: 13 de setembro de 2019 Género(s) Esporte Modos de jogo Um jogador Multijogador Pro Evolution Soccer 2019 eFootball Pro Evolution Soccer 2021 Seas...

SS Ypiranga

Albrecht Ritschl

Willis Group

MTV (Israeli TV channel)

オスカー・オースチン (ミサイル駆逐艦)

Цимбаліст Віктор Петрович

American Football Conference

Bryn Mawr station (SEPTA Regional Rail)