Morse oli vuonna 1959 ensimmäisen kerran ehdolla Tony-palkintoon komediasta Say, Darling. Seuraavana vuonna hän oli ehdolla musikaalista Take Me Along. Ensimmäisen voittonsa hän sai vuonna komediamusikaalista How to Succeed in Business Without Really Trying. Näytelmä oli valtaisan suosittu, ja sitä esitettiin viiden vuoden aikana yli 1 400 kertaa. Morse oli mukana myös näytelmän elokuvaversiossa Miten menestyä liike-elämässä yrittämättä liikaa (1967).[2]
Vuosina 1972–1973 Morse oli mukana musikaalikomediassa Sugar, joka oli Billy Wilderin ohjaaman Piukat paikat näytelmäversio. Hän näytteli vuonna 1976 puolestaan musikaalissa So Long, 174th Street, mutta palasi Broadwaylle seuraavan kerran vasta 1989–1990 esitetyssä näytelmässä Tru. Yhden miehen näytelmässä Morse näytteli Truman Capotea. Morse sai osasta toisen Tony-palkintonsa.[2] Hän oli neljäs näyttelijä, joka oli saanut Tonyn sekä draama- että musikaalinäytelmän pääosasta.[3]
Morse näytteli vuosina 1968–1969 televisiosarjassa That’s Life, josta Morse sai ensimmäisen Emmy-ehdokkuutensa. Vuonna 1970 Disney-komediassa Ruuhiralli. Hän oli 1970- ja 1980-kuvulla vierailevana näyttelijänä muun muassa televisiosarjoissa Love, American Style, Seikkailujen saari, The Dukes of Hazzard ja Murhasta tuli totta. Morse oli mukana laulamassa Marlo Thomasin lastenalbumilla Free to Be...You and Me ja elokuvassa Keisarin uudet vaatteet (1987).[2]
Morse voitti Emmy-palkinnon vuonna 1993 PBS:nAmerican Playhouse -sarjaan tehdystä Tru-näytelmän adaptaatiosta. Samana vuonna Morse näytteli sarjassa Villipalmut, ja vuonna 2000 hän oli lyhytaikaisen sairaalasarjan City of Angeles vakionäyttelijoitä.[2]
Morse näytteli vuosina 2007–2015 AMC:n kehutussa draamasarjassa Mad Men.[2] Morse oli siinä sarjan mainostoimiston johtaja Bert Cooper.[3] Cooper oli eksentrinen mies, joka tunnettiin kravateistaan sekä japanilaisen taiteen ja arkkitehtuurin kokoelmastaan. Morse oli sarjasta viisi kertaa ehdolla Emmy-voittajaksi.[2]
