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Anatoli Soloviov sort diplômé de l'École militaire supérieure d'aviation "Komsomol léniniste" de Tchernigov en 1972.
Activités de spationaute
Il a servi de 1972 à 1976 comme pilote et commandant senior dans la zone militaire d'Extrême-Orient. Depuis , il a été étudiant-cosmonaute au centre de formation des cosmonautes Iouri-A.-Gagarine. Après avoir accompli sa formation générale de l'espace en janvier 1979, il devient pilote d'essai de troisième classe et cosmonaute d'essai.
De 1979 à 1984, il suit la formation pour un vol à bord du véhicule de transport Soyouz-T et les stations orbitales Saliout 7 et Mir. Il est sélectionné deux fois comme commandant d'équipage de réserve (doublures), en 1981 et 1987, avant d'effectuer son premier vol en 1988. Il effectuera ensuite 6 vols (dont 3 de plus de 6 mois), dont l'un sur une navette spatiale américaine.
Le , il s'envole à bord de Soyouz TM-5 en tant que membre de l'expédition Mir EP-2, équipage soviéto-bulgare international. Il revient sur Terre à bord de Soyouz TM-4 le .
Le , il décolle à bord de Soyouz TM-9 en tant que membre de l'expédition Mir EO-6, pour un vol de long-durée (179 jours) à bord de la station Mir. Il atterrit le .
Le , il décolle à bord du vaisseau Soyouz TM-15 en direction de Mir, en tant que membre de l'expédition Mir EO-12. Il revient sur Terre le .
Le , il décolle à bord de la navette spatiale Atlantis, lors de la mission STS-71, à destination de Mir, en tant que membre d'équipage de l'expédition Mir EO-19. Il revient sur Terre à bord de Soyouz TM-21 le .
Le , il décolle à bord de Soyouz TM-26 en direction de Mir, en tant que membre de l'expédition Mir EO-24. Il revient sur Terre le .
Il a également été le commandant de l'équipage russe de secours de l'expédition Mir-18 sur le vaisseau spatial Soyouz TM-21 en tant qu'élément du programme MIR-Navette.