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Il est sacré champion olympique à deux reprises, en 1952 et en 1956, marquant notamment un but en demi-finale des Jeux de 1956 contre l'Union soviétique, dans un match qui sera surnommé le Bain de sang de Melbourne.
Bolvári est l'un des nombreux sportifs hongrois à fuir le pays après les Jeux de Melbourne, s'installant en Australie pour cinq ans. A son retour en Hongrie, il évolue dans les clubs du Vasas SC, du Spartacus et du Ferencvárosi TC.
