Connexion (mathématiques)

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En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul.

La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954^[1].

Cet opérateur fait correspondre à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ de vecteurs X sur B, une section globale notée ${\displaystyle \scriptstyle \nabla _{X}s}$ vérifiant :

1. L'application ${\displaystyle \scriptstyle X\mapsto \nabla _{X}s}$ est ${\displaystyle \scriptstyle C^{\infty }(M)}$-linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière ${\displaystyle f}$, on a :

   ${\displaystyle \nabla _{f\cdot X}s=f\cdot \nabla _{X}s}$.

2. la relation de Leibniz :

   ${\displaystyle \nabla _{X}(f\cdot s)=df(X)\cdot s+f\cdot \nabla _{X}s}$.

La relation de Leibniz démontre que la valeur de ${\displaystyle \scriptstyle \nabla _{X}s}$ en un point b de B ne dépend que des variations de ${\displaystyle s}$ au voisinage de b. La ${\displaystyle \scriptstyle C^{\infty }(M)}$-linéarité implique que cette valeur ne dépend que de ${\displaystyle X(p)}$. Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de dérivée suivant un vecteur, la quantité ${\displaystyle \nabla _{X}s}$ pouvant être interprétée comme la dérivée de s dans la direction X.

Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul. De façon plus précise, une connexion d'Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, le fibré tangent de E.

Une métrique riemannienne g de classe ${\displaystyle C^{k}}$ sur une variété différentielle M étant donnée, il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur ${\displaystyle T_{x}M}$, appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :

1. ∇ est sans torsion : pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$,${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$ ;
2. ${\displaystyle g}$ est parallèle : pour tous champs de vecteurs ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ et ${\displaystyle Z}$, on a :

${\displaystyle Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)}$.

• Chariot pointant le sud
• Connexion affine
• Courbure
• Dérivée covariante
• Géodésique
• Holonomie
• Variété riemannienne

• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003 [détail de l’édition]
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]

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