Le dual topologique E' de E est le sous-espace vectoriel de E* (le dual algébrique de E) formé des formes linéairescontinues.
Si l'espace est de dimension finie, le dual topologique coïncide avec le dual algébrique, puisque dans ce cas toute forme linéaire est continue.
Mais dans le cas général, l'inclusion du dual topologique dans le dual algébrique est stricte.
Exemple
Soit D l'espace vectoriel réel des fonctions dérivables de l'intervalle [0, 1] dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme.
Soit p la forme linéaire sur D définie par
Soit par ailleurs la suite de fonctions de D définie par . On constate facilement que
(la fonction est positive et maximale pour x = 1/(n + 1)).
Mais pour tout n alors que devrait tendre vers p(0) = 0 si p était continue.
Topologies duales
Dans certains cas, on peut définir canoniquement diverses topologies sur le dual.
Topologie faible du dual
À tout vecteur de on peut faire correspondre l'application de dans ℝ définie par .
Cette application est une semi-norme sur . La topologie d'espace localement convexe définie par cette famille de semi-normes s'appelle la topologie faible du dual. C'est la topologie la moins fine rendant continues les applications f↦f(v).
Par construction, cette topologie sur E' est séparée.
Il est important de remarquer que même en dimension finie, les espaces normés E et
E', qui sont algébriquement isomorphes, ne sont pas isométriques en général.
Par exemple, sur ℝn, les normes et
sont duales l'une de l'autre, mais ne sont pas isométriques
dès que n ≥ 3.
On déduit alors du théorème de Krein-Milman que si la boule unité d'un espace de Banach E n'a aucun point extrémal (par exemple si E = L1([0, 1]) ou E = c0, l'espace des suites de limite nulle) alors E n'est le dual d'aucun espace.
Pour tout espace préhilbertien H, l'injection j de H dans H' est d'imagedense.
Bidual (topologique)
Alors que la notion purement algébrique du bidual ne présente aucune ambiguïté, il en est tout autrement pour les notions topologiques. En effet, selon la topologie retenue sur le dual, l'ensemble des formes linéaires continues sur ce dual pourra être plus ou moins gros.
Bidual d'un espace de Banach et réflexivité
Dans le cas d'un espace vectoriel normé E, ce qu'on appelle en général le bidual, noté E'', est le dual du dual fort.
Il existe une application naturelle de E dans son bidual, l'application d'évaluation
Pour tout espace vectoriel normé réel E, la boule unité de E'' est l'adhérence pour la topologie σ(E'', E') (la topologie faible-* sur E'') de l'image par J de la boule unité de E.
Notes et références
↑On pourrait aussi l'appeler norme polaire[réf. nécessaire] au vu des développements de l'article sur la jauge d'un convexe. Une norme est en effet une jauge dont la jauge polaire n'est autre que la norme duale.
↑(en) D. Freeman, E. Odell et Th. Schlumprecht, « The universality of ℓ1 as a dual space », Math. Annalen., vol. 351, no 1, , p. 149-186 (lire en ligne [PDF]).
↑(en) Dale E. Alspach, « A ℓ1 predual which is not isometric to a quotient of C(α) », ArXiv, (lire en ligne).
↑Pour une étude plus systématique, voir Gilles Godefroy, « Espace de Banach, existence et unicité de certains préduaux », Ann. Inst. Fourier, vol. 28, , p. 87-105 (lire en ligne).
↑Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire ⟨ v, w ⟩ linéaire par rapport à v et semi-linéaire par rapport à w, comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Théorème de représentation de Riesz. La définition de l'application j varie naturellement en fonction de la convention choisie.