Les nombres qui n'ont pas été rayé sont tous les entiers sans facteur carré jusqu'à 120
En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un entier sans facteur carré (souvent appelé, par tradition ou commodité quadratfrei ou squarefree) est un entier relatif qui n'est divisible par aucun carré parfait, excepté 1. Par exemple, 10 est sans facteur carré mais 18 ne l'est pas, puisqu'il est divisible par 9 = 32. Les dix plus petits nombres de la suite A005117 de l'OEIS des entiers positifs sans facteur carré sont 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14.
Caractérisations équivalentes des nombres sans facteur carré
L'entier n est sans facteur carré si et seulement si dans la décomposition en facteurs premiers de n, aucun nombre premier n'apparait plus d'une fois. Un autre point de vue équivalent est que pour chaque diviseur premier p de n, le nombre premier p ne divise pas n⁄p. Une autre formulation est la suivante : n est sans facteur carré si et seulement si dans chaque décomposition n = ab, les facteurs a et b sont premiers entre eux.
Pour tout nombre premier p, la valuation p-adique de l'entier n est au plus égale à 1. On dit aussi parfois qu'un tel nombre est quadratfrei.
On rappelle que pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, la valuation p-adique de n (parfois notée νp(n)) est égale, par définition, à l'exposant de p dans la décomposition de n en produit de nombres premiers.
Ainsi, si , on a , et est quadratfrei équivaut à .
Un entier n > 0 est sans facteur carré si et seulement si son image par la fonction de Möbius est non nulle.
↑(en) Chao-Hua Jia, « The distribution of square-free numbers », Science in China, a: Mathematics, vol. 36, no 2, , p. 154-169, cité dans (en) Francesco Pappalardi, « A Survey on k-freeness », ; voir aussi (en) Kaneenika Sinha, « Average orders of certain arithmetical functions », Journal of the Ramanujan Mathematical Society(en), vol. 21, no 3, , p. 267-277 (lire en ligne).
↑(en) Olivier Ramaré et Andrew Granville, « Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients », Mathematika, vol. 43, no 1, , p. 73-107 (lire en ligne).