En topologie, la frontière d'un ensemble (aussi appelé parfois « le bord d'un ensemble ») est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble.
Illustration de concepts de base en topologie générale
l'ensemble de tous les « points frontières » de S, c'est-à-dire des points p de E pour lesquels tout voisinage de p — ou simplement tous ceux d'une base de voisinages[1] — contient au moins un point dans S et un point hors de S.
l'ensemble des points de E qui n'appartiennent ni à l'intérieur de S ni à l'extérieur de S[2]:
Propriétés
La frontière d'un ensemble est un fermé (d'après la deuxième définition, comme intersection de deux fermés).
La frontière d'un ensemble est également celle de son complémentaire (toujours d'après la deuxième définition, en utilisant l'involutivité du passage au complémentaire).
L'adhérence d'un ensemble est la réunion de cet ensemble et de sa frontière : S = S ∪ ∂S. En particulier, un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
L'intérieur d'un ensemble est cet ensemble privé de sa frontière. En particulier, un ensemble est un ouvert si et seulement s'il est disjoint de sa frontière.
La frontière d'un ouvert (ou d'un fermé) est d'intérieur vide. En effet, si S est ouvert, ∂S = S ∩ (E \ S) donc int(∂S) ⊂ S ∩ int(E \ S) = ∅.
La frontière d'une union finie est en général strictement incluse dans la réunion des frontières, mais si A et B sont d'adhérences disjointes — ou plus généralement, si A ∩ B = B ∩ A = ∅ — alors ∂(A ∪ B) = ∂(A) ∪ ∂(B).