Le , lors de sa réunion additionnelle à Helsinki, le Conseil de la CSCE charge le président de l'organisation d'arranger dès que possible une conférence sur le Haut-Karabagh sous les auspices de la CSCE, pouvant servir de lieu de négociation en vue de parvenir à un règlement pacifique de la crise dans la région sur la base des principes, engagements et règles de la CSCE. Cette conférence doit se tenir à Minsk, en Biélorussie. Bien que cette conférence n'ait pas encore eu lieu, le groupe de Minsk supervise les efforts de l'OSCE visant à trouver une solution politique au conflit.
Le , le sommet de Budapest décide d'établir une coprésidence chargée de guider le processus. Sur cette base, le président donne un mandat aux coprésidents le . Ses principaux objectifs sont les suivants :
fournir un cadre approprié à la résolution du conflit en assurant le processus de négociation soutenu par le groupe ;
obtenir des parties la conclusion d'un accord de cessation des hostilités afin de permettre la convocation de la conférence ;
promouvoir le processus de paix par le déploiement d'une force de maintien de la paix internationale sous les auspices de l'OSCE.
En 2016, les coprésidents du groupe de Minsk sont l’ambassadeur Stéphane Visconti (France), l’ambassadeur Igor Popov (fédération de Russie) et l’ambassadeur Andrew Schofer (États-Unis)[1],[2].
Le 03 novembre 2021, la France nomme Brice Roquefeuil ambassadeur pour le partenariat oriental de l’Union européenne et de la mer Noire, coprésident du Groupe de Minsk[3].
Les mêmes États membres participent à la conférence de Minsk sur le Haut-Karabagh. La conférence est dirigée par les coprésidents de la conférence de Minsk.
Le , lors du sommet de la CEI à Chișinău, les délégations arménienne et azerbaïdjanaise discutent de l’utilité du groupe de Minsk pour les négociations de paix. Selon elles, la médiation de l'OSCE, qui a duré dix ans, n'a pas un bilan d’efficacité suffisant.
En novembre 2007, afin de sortir de l’impasse les trois pays coprésidents du groupe de Minsk présentent à Madrid une série de six points fondamentaux sur lesquelles se baser pour les négociations de paix[6]. Ces six points sont connus sont le nom de principes de Madrid, et sont acceptés par les belligérants[7]. Ils sont mis à jour en 2009 lors du sommet du G8 à l’Aquila, en Italie.
Le , les présidents arménien Serge Sarkissian et azerbaïdjanais Ilham Aliyev participent à un sommet à Berne, en Suisse, sous les auspices des coprésidents du groupe. Les présidents soutiennent les travaux en cours visant à réduire le risque de violence et confirment leur volonté de s'engager à un règlement pacifique du conflit[8].
Le , lors d'un discours officiel, le président azerbaidjanais Ilham Aliyev dénonce l'absence d'avancée et remet en cause le format des négociations telles que menées par le groupe de Minsk[9].
Le dernier sommet entre les présidents Ilham Aliyev et Serge Sarkissian a lieu le , organisé par le groupe de Minsk à Genève, en Suisse. Les présidents ont annoncé prendre les mesures appropriées pour renforcer le processus de négociation et réduire les tensions sur la ligne de contact[10],[11].
Le , Rahman Mustafayev, ambassadeur de l'Azerbaïdjan en France, réfute la légitimité du groupe de Minsk et estime le conflit du Haut-Karabagh comme ayant été résolu par la guerre de 2020[12].
En 2015, Azay Kouliyev, un membre du parlement azerbaïdjanais, a proposé l'inclusion de la Turquie et de l'Allemagne à l'institut de coprésidence[13]. Cependant, selon Matthew Bryza, ancien ambassadeur des États-Unis en Azerbaïdjan, l'UE aurait plus de sens car elle représenterait davantage l'Europe et a de l'expérience dans la médiation de conflits similaires dans les Balkans[14].
L'expert azerbaïdjanais des affaires étrangères Rousif Housseïnov a proposé le Kazakhstan comme coprésident supplémentaire du Groupe de Minsk. Selon lui, le Kazakhstan, qui est devenu un grand acteur de l'espace post-soviétique, a une population titulaire qui est culturellement similaire aux Azerbaïdjanais, mais est membre de plusieurs organisations dirigées par le Kremlin avec l'Arménie. Par conséquent, le Kazakhstan pourrait être tout aussi proche ou éloigné de l'un ou l'autre des belligérants. L'expérience antérieure du Kazakhstan dans le conflit du Haut-Karabakh en fait également un bon candidat pour le processus de médiation[15].
