Héctor Elizondo est né à New York, fils de Carmen Medina Reyes et Martín Echevarría Elizondo, un comptable notoire. Son grand-père paternel était un basque d'Espagne, et ses grands-parents maternels natifs des Iles Canaries. Ses parents sont partis de Puerto Rico pour les États-Unis avec l'espérance de trouver une meilleure vie.
Il a grandi à Manhattan[1] et démontre dès son plus jeune âge des talents pour la musique et le sport. Après avoir été diplômé de la Jr. High School en 1950, il rentre à Fiorello H. LaGuardia High School of Music & Art and Performing Arts, une école artistique publique. Il s'inscrit également en 1954 à la City College of New York dans l'intention de devenir professeur d'histoire, mais il devient père la première année et décide d'abandonner ses études pour se consacrer à sa famille. Il divorcera cependant quelques années plus tard.
À la télévision, il est connu pour ses rôles du Dr Phillip Watters dans la série Chicago Hope: La Vie à tout prix et du Dr Neven Bell dans la série Monk. Héctor Elizondo remplace l'acteur Stanley Kamel, décédé le qui interprétait l'ancien psychiatre d'Adrian Monk.