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Inverse-gamma
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
α α -->
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
paramètre de forme (réel )
β β -->
>
0
{\displaystyle \beta >0}
paramètre d'échelle (réel)
Support
x
∈ ∈ -->
]
0
;
∞ ∞ -->
[
{\displaystyle x\in \left]0;\infty \right[}
Densité de probabilité
β β -->
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
x
− − -->
α α -->
− − -->
1
exp
-->
(
− − -->
β β -->
x
)
{\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{x}}\right)}
Fonction de répartition
Γ Γ -->
(
α α -->
,
β β -->
/
x
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}
Espérance
β β -->
α α -->
− − -->
1
{\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}\!}
α α -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1}
Mode
β β -->
α α -->
+
1
{\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}\!}
Variance
β β -->
2
(
α α -->
− − -->
1
)
2
(
α α -->
− − -->
2
)
{\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!}
α α -->
>
2
{\displaystyle \alpha >2}
Asymétrie
4
α α -->
− − -->
2
α α -->
− − -->
3
{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!}
α α -->
>
3
{\displaystyle \alpha >3}
Kurtosis normalisé
6
5
α α -->
− − -->
11
(
α α -->
− − -->
3
)
(
α α -->
− − -->
4
)
{\displaystyle 6{\frac {5\,\alpha -11}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!}
α α -->
>
4
{\displaystyle \alpha >4}
Entropie
α α -->
+
ln
-->
(
β β -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
)
− − -->
(
1
+
α α -->
)
ψ ψ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle \alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )}
Fonction génératrice des moments
2
(
− − -->
β β -->
t
)
α α -->
2
Γ Γ -->
(
α α -->
)
K
α α -->
(
− − -->
4
β β -->
t
)
{\displaystyle {\frac {2\left(-\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4\beta t}}\right)}
Fonction caractéristique
2
(
− − -->
i
β β -->
t
)
α α -->
2
Γ Γ -->
(
α α -->
)
K
α α -->
(
− − -->
4
i
β β -->
t
)
{\displaystyle {\frac {2\left(-\mathrm {i} \beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4\mathrm {i} \beta t}}\right)}
modifier
Dans la théorie des probabilités et en statistiques , la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une distribution Gamma .
La densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
(
x
;
α α -->
,
β β -->
)
=
β β -->
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
(
1
/
x
)
α α -->
+
1
exp
-->
(
− − -->
β β -->
/
x
)
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}
où
α α -->
{\displaystyle \alpha }
paramètre de forme et
β β -->
{\displaystyle \beta }
paramètre d'échelle .
La fonction de répartition est la fonction gamma régularisée :
F
(
x
;
α α -->
,
β β -->
)
=
Γ Γ -->
(
α α -->
,
β β -->
/
x
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}
où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la fonction gamma .
Si
X
∼ ∼ -->
Inv-Gamma
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}
α α -->
=
ν ν -->
2
,
β β -->
=
1
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}},\beta ={\frac {1}{2}}}
X
∼ ∼ -->
Inv-chi-square
(
ν ν -->
)
{\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-chi-square}}(\nu )\,}
loi inverse-χ² ;
Si
X
∼ ∼ -->
Inv-Gamma
(
k
,
θ θ -->
)
{\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )\,}
1
/
X
∼ ∼ -->
Gamma
(
k
,
1
/
θ θ -->
)
{\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Gamma}}(k,1/\theta )\,}
loi Gamma de paramètre de forme
k
{\displaystyle k}
1
/
θ θ -->
{\displaystyle 1/\theta }
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
Une généralisation multivariée de la loi inverse-gamma est la loi de Wishart inverse .
La densité de la loi Gamma est
f
(
x
)
=
x
k
− − -->
1
e
− − -->
x
/
θ θ -->
θ θ -->
k
Γ Γ -->
(
k
)
{\displaystyle f(x)=x^{k-1}{\frac {\mathrm {e} ^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}}
et définissons la transformation
Y
=
g
(
X
)
=
1
X
{\displaystyle Y=g(X)={\frac {1}{X}}}
f
Y
(
y
)
=
f
X
(
g
− − -->
1
(
y
)
)
|
d
d
y
g
− − -->
1
(
y
)
|
{\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}g^{-1}(y)\right|}
=
1
θ θ -->
k
Γ Γ -->
(
k
)
(
1
y
)
k
− − -->
1
exp
-->
(
− − -->
1
θ θ -->
y
)
1
y
2
{\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{k-1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}}
=
1
θ θ -->
k
Γ Γ -->
(
k
)
(
1
y
)
k
+
1
exp
-->
(
− − -->
1
θ θ -->
y
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{k+1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right)}
=
1
θ θ -->
k
Γ Γ -->
(
k
)
y
− − -->
k
− − -->
1
exp
-->
(
− − -->
1
θ θ -->
y
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}y^{-k-1}\exp \left({\frac {-1}{\theta y}}\right)}
Remplaçant
k
{\displaystyle k}
α α -->
{\displaystyle \alpha }
θ θ -->
− − -->
1
{\displaystyle \theta ^{-1}}
β β -->
{\displaystyle \beta }
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
=
β β -->
α α -->
Γ Γ -->
(
α α -->
)
x
− − -->
α α -->
− − -->
1
exp
-->
(
− − -->
β β -->
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{x}}\right)}
Apparitions
![{\displaystyle x\in \left]0;\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dd122b5b90a05c3f6460ffa690aaf6a2d80322)
