Nombre polytopique

En arithmétique géométrique, un nombre polytopique, ou nombre hyperpolyédrique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope, ou hyperpolyèdre.

Pour un polytope de dimension ${\displaystyle k}$ possédant, pour ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant k}$, ${\displaystyle N_{i}}$ cellules de dimension ${\displaystyle i}$ qui sont toutes des polytopes équivalents (${\displaystyle N_{0}=S,N_{1}=A}$) le nombre de points ajoutés à l'étape ${\displaystyle n}$ est

${\displaystyle P(n)-P(n-1)=\sum _{i=0}^{k}(N_{i}-D_{i})P_{n,i}^{*}=S-1+(A-D_{1})(n-2)+\cdots +(N_{k}-D_{k})P_{n,k}^{*}}$

où ${\displaystyle D_{i}}$ est le nombre, constant, de cellules de dimension ${\displaystyle i}$ aboutissant à un sommet, et ${\displaystyle P_{n,i}^{*}}$ le nombre polytopique d'ordre ${\displaystyle n}$ associé aux cellules de dimension ${\displaystyle i}$, auquel on retranche le nombre de points situés sur leur frontière^[1].

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$-simplicial ou hypertétraédrique de dimension ${\displaystyle k}$ ^[1] est le nombre de points d'un ${\displaystyle k}$-simplexe dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. On l'obtient comme somme des nombres ${\displaystyle (k-1)}$-simpliciaux d'indices 1 à ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)=S_{k-1}(1)+S_{k-1}(2)+\cdots +S_{k-1}(n)}$.

Partant de ${\displaystyle S_{1}(n)=n={\binom {n}{1}}}$, on obtient par récurrence, grâce à la formule d'itération de Pascal, de le calculer par récurrence :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)={\binom {n+k-1}{k}}={{n(n+1)\cdots (n+k-1)} \over {k!}}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}}$

où ${\displaystyle k!}$ est la factorielle de ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}}$ est un coefficient binomial, et ${\displaystyle n^{\overline {k}}}$ une factorielle croissante.

Les nombres ${\displaystyle k}$-simpliciaux constituent donc la ${\displaystyle (k+1)}$-ième colonne du triangle de Pascal. Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

• ${\displaystyle S_{1}(n)=n}$ (nombres linéaires)
• ${\displaystyle S_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}}$ , nombres triangulaires, suite A000217 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$ , nombres tétraédriques, suite A000292 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$ , nombres pentatopiques, suite A000332 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{5}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120}}}$, suite A000389 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{6}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}{720}}}$, suite A000579 de l'OEIS.

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube, polytope généralisant le carré et le cube. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$- hypertétraédrique ou hypertétraédrique de dimension ${\displaystyle k}$ est le nombre de points d'un hypercube dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. Il est égal à la puissance parfaite ${\displaystyle C_{k}(n)=n^{k}}$.

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre, polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$- hyperoctaédrique ou hyperoctaédrique de dimension ${\displaystyle k}$ est le nombre de points d'un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. Il est égal à ${\displaystyle O_{k}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{\binom {k-1}{i}}{\binom {n+i}{k}}}$^[1],[2].

Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

• ${\displaystyle O_{1}(n)=n}$ (nombres linéaires)
• ${\displaystyle O_{2}(n)={\binom {n}{2}}+{\binom {n+1}{2}}=n^{2}}$ , nombres carrés : 1, 4, 9, 16, 25, ..., suite A000290 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{3}(n)={\binom {n}{3}}+2{\binom {n+1}{3}}+{\binom {n+2}{3}}={n(2n^{2}+1) \over 3}}$ , nombres octaédriques : 1, 6, 19, 44, 85, ..., suite A005900 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{4}(n)={\binom {n}{4}}+3{\binom {n+1}{4}}+3{\binom {n+2}{4}}+{\binom {n+3}{4}}={n^{2}(n^{2}+2) \over 3}}$, nombres 4-hyperoctaédriques : 1, 8, 33, 96, 225, ..., suite A014820 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{5}(n)={\frac {n(2n^{4}+10n^{2}+3)}{15}}}$, nombres 5-hyperoctaédriques : 1, 10, 51, 180, 501, ..., suite A069038 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{6}(n)={\frac {n^{2}(2n^{4}+20n^{2}+23)}{45}}}$, nombres 6-hyperoctaédriques : 1, 12, 73, 304, 985, ..., suite A069039 de l'OEIS.

La suite double ${\displaystyle (O_{k}(n))}$ est répertoriée, avec inversion de ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle n}$, comme suite A142978 de l'OEIS.

Elle peut être définie par récurrence par :${\displaystyle {\begin{cases}O_{k}(1)=1,O_{1}(n)=n,&\\O_{k}(n)=O_{k}(n-1)+O_{k-1}(n-1)+O_{k-1}(n),&{\text{pour }}2\leqslant k\leqslant n\end{cases}}}$.

Ceci permet de construire facilement le triangle de ces nombres, les suites ${\displaystyle (O_{k}(n))_{n}}$ se lisant dans les diagonales descendantes :

            1
          1   2
        1   4   3
      1   6   9   4
    1   8  19   16   5
  1   10  33  44  25   6
1  12   51  96  85  36   7

Le triangle de Delannoy a la même définition, sauf que les deux bordures sont remplies de 1.

Il existe de plus une formule de symétrie : ${\displaystyle kO_{k}(n)=nO_{n}(k)}$.

Pour les nombres hyperdodécaédriques ou hécatonicosachoriques, les nombres hypericosaédriques ou hexacosichoriques et les nombres hypergranatoédriques ou icositétrachoriques :

• Nombre polytopique centré

• Arithmétique et théorie des nombres