Paire de Ruth-Aaron

En mathématiques récréatives, une paire de Ruth-Aaron est constituée de deux entiers naturels consécutifs (par exemple 714 et 715) pour lesquels les sommes des facteurs premiers de chaque entier sont égales.

714 = 2 × 3 × 7 × 17

715 = 5 × 11 × 13

et 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29

Si l'on ne compte que les facteurs premiers distincts, les premières paires de Ruth-Aaron sont :

(5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108).

(Le plus petit des deux nombres de chaque paire est listé dans la suite A006145 de l'OEIS.)

En comptant les facteurs premiers répétés (par exemple 8 = 2 × 2 × 2 et 9 = 3 × 3 avec 2 + 2 + 2 = 3 + 3), les premières paires de Ruth-Aaron sont :

(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331).

(Le plus petit des deux nombres de chaque paire est listé dans la  A039752.)

Ces nombres ont été nommés par Carl Pomerance en l'honneur des joueurs de baseball Babe Ruth et Hank Aaron, parce que le nombre total de coups de circuit de la carrière en saison régulière de Babe Ruth était égal à 714, un record que Aaron éclipsa le 8 avril 1974, lorsqu'il frappa le 715^e coup de circuit de sa carrière. Pomerance était alors mathématicien à l'université de Géorgie. Un étudiant d'un collègue de Pomerance remarqua que les sommes des facteurs premiers de 714 et de 715 étaient égales.

Les triplets de Ruth-Aaron (recouvrant les paires de Ruth-Aaron) existent aussi :

• lorsque l'on ne compte que les facteurs premiers distincts :

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419

89460295 = 5 × 4201 × 4259

89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389

et 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465

151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411

151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089

151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021

et 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589

(le plus petit nombre de chaque paire est listé dans la suite A227654 de l'OEIS) ;

• en comptant les facteurs premiers répétés :

417162 = 2 × 3 × 251 × 277

417163 = 17 × 53 × 463

417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499

et 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533

6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197

6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881

6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707

et 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428

(ce sont les deux seuls triplets inférieurs à 10¹³).

, dont les références étaient :

• (en) Paul Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion (ISBN 978-0-7868-8406-3), p. 180-181,
• (en) Carlos Rivera, « Puzzle 173. Ruth-Aaron Triplets » et « Puzzle 358. Ruth-Aaron pairs revisited », sur The prime puzzles & problems connection.

• Arithmétique et théorie des nombres