Conti commence sa carrière en 1947 dans un des clubs de la capitale argentine, le Racing Club de Avellaneda, club avec qui il reste durant quatre saisons, avant d'ensuite rejoindre pour une saison un autre grand club porteño, River Plate.
En 1951, il part tenter sa chance en Europe dans le pays de ses origines, l'Italie. Il rejoint l'équipe du Torino mais est immédiatement prêté au club français de l'AS Monaco, avec qui il inscrit 13 buts en 16 matchs (il se fait appeler Raoul Conti dans l'Hexagone). La saison suivante, les Monégasques achètent définitivement le joueur, où Conti évolue jusqu'en 1956. Avec le club de Turin, il joue son premier match le lors d'un nul 1-1 contre la Sampdoria en Serie A.
Lors de la saison de Serie A 1956-1957, il signe chez le grand club du nord de l'Italie de la Juventus pour une saison (7 buts en 30 matchs).
Il tente ensuite sa chance en jouant sous les couleurs de l'Atalanta pour la saison suivante, avant de tenter une dernière aventure en 1958 avec l'AS Bari, avec qui il termine sa carrière en 1962 (il quitte ensuite définitivement l'Italie après la naissance à Bari de son fils Norberto[1]).
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