Alesker s'est particulièrement intéressé aux valuations d'ensembles convexes, c'est-à-dire définis sur ces fonctionnelles additives[2], qui généralisent les mesures[3]. Les racines de la théorie résident dans les tentatives (depuis Max Dehn) de résoudre le troisième des Problèmes de Hilbert sur l'égalité de décomposition des polyèdres. Il a étendu la théorie d'Hugo Hadwiger (1957) pour la caractérisation des volumes intrinsèques (valuations constantes invariantes sous mouvements rigides) d'une part à l'égard de l'invariance en translation pure et d'autre part à l'égard de l'invariance en rotation pure. Il a approximé les valuations continues invariantes par rotation par des valuations polynomiales, qu'il a caractérisées à l'aide de méthodes de la théorie des représentations d groupe orthogonal[4]. Pour les valuations continues invariantes en translation (que Hadwiger a caractérisées pour les dimensions 1, 2), il a prouvé en 2001 une conjecture de Peter McMullen(de) selon laquelle les volumes mixtes se trouvent densément dans l'espace des valuations continues invariantes en translation (ou, en d'autres termes, cette valuation invariante en translation les valorisations continues peuvent être représentées par des combinaisons linéaires de volumes mixtes)[5]. Alesker a également défini de nouvelles opérations pour les valuations, les produits [6] et les transformées de Fourier et de Radon pour les valuations continues invariantes en translation. Dans une série d'articles, il a également introduit une théorie des valuations sur les variétés (au lieu des ensembles convexes comme d'habitude)[7].
↑Alesker: On P. McMullens Conjecture on translation invariant valuations. Advances in Mathematics, vol 155, 2000, p. 239–263. Description of translation invariant valuations on convex sets with solution of P. McMullen´s conjecture. Geom. Funct. Analysis, vol 11, 2001, p. 244–272.
↑Alesker: The multiplicative structure on polynomial continuous valuations. Geom. Funct. Analysis, vol 14, 2004, p. 1–26.
