Avant l'avènement de la distribution de Fermi-Dirac dans les années 1920, la compréhension du comportement des électrons dans les métaux était très rudimentaire. Le modèle de Drude utilisait la statistique classique de Maxwell-Boltzmann pour décrire la dynamique des électrons. Ainsi les scientifiques ne comprenaient pas bien pourquoi les électrons participaient en grand nombre dans la conduction du courant électrique dans un métal et que ce nombre devenait extrêmement réduit quand il s'agit de contribuer à la capacité calorifique du même métal. Il y a manifestement ici un problème de statistique qui se pose dans l'évaluation de la capacité calorifique des métaux.
L'explication fut apportée par le modèle de l'électron libre de Arnold Sommerfeld (1927) qui introduisait la distribution de Fermi-Dirac, en révélant que seuls les états situés près du niveau de Fermi, étaient sollicités pour la contribution à la capacité calorifique du métal.
Distribution de Fermi–Dirac
La statistique de Fermi-Dirac a été introduite en 1926 par Enrico Fermi et Paul Dirac. En 1927 elle fut appliquée aux électrons dans un métal par Arnold Sommerfeld. Statistiquement, le nombre ni de particules dans l'état d'énergie Ei est donné par :
où :
gi est la dégénérescence de l'état d'énergie Ei , à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
Les distributions de Fermi-Dirac pour les fermions, en même temps que la distribution de Bose-Einstein analogue pour les bosons, sont utilisées lorsque les effets quantiques sont pris en compte, et lorsque les particules sont considérées comme indiscernables. Cela correspond à une concentration de particules (N/V) supérieure à une certaine densité d'état, c'est-à-dire que la distance intermoléculaire est inférieure à celle de la longueur d'onde thermique de de Broglie.
Distribution de Fermi-Dirac en fonction de ε/μ et de différentes températures
Représentation de pour les bosons (courbe du haut) et les fermions (courbe du bas).
Entropie et dérivation dans l'ensemble microcanonique
nombre d'occupation (proportion de fermions dans un état d'énergie donné),
nombre d'états possibles dans le groupe j (dégénérescence).
Démonstration
En suivant la méthode énoncée par J.W. Gibbs en physique statistique et le principe d'exclusion de Pauli, on dénombre dans le système étudié les fermions d'énergie Ej, leur nombre dans ce groupe Nj, chacun de ces groupes pouvant comporter Gj états. Le calcul de l'entropie revient à calculer le poids statistique Ω d'un tel système, c'est-à-dire le nombre de micro-états accessibles permettant de réaliser cet état macroscopique. Chaque groupe étant supposé indépendant on a Ω = Πj Ωj. Le problème est donc ramené à la connaissance de Ωj.
Le nombre de possibilités de répartir Nj fermions identiques dans Gj états avec au plus une particule par état (selon le principe de Pauli) est
Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de fermions et l'énergie totale . En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, α pour le nombre de particules et β pour l'énergie, la solution vérifie
La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Fermi-Dirac
À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Fermi-Dirac tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann ; il en est de même pour la statistique de Bose-Einstein qui régit les bosons. À basse température, si les particules occupent en priorité les niveaux d'énergie les plus faibles, les statistiques diffèrent cependant. Par exemple, à température nulle :
avec la statistique de Fermi-Dirac, le niveau de plus basse énergie, E0, est occupé par au plus g0 fermions ; les états de basse énergie Ei sont ensuite occupés chacun dans l'ordre croissant des énergies par au plus gi fermions jusqu'à épuisement de ces derniers;
avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons (cas limite du condensat de Bose-Einstein).
Ensembles de fermions
Les électrons dans les solides forment un gaz de fermions dont la description requiert la statistique de Fermi-Dirac. Récemment, le refroidissement de gaz d'atomes dilués fermioniques jusqu'à des températures de l'ordre du μK a permis d'obtenir des condensats fermioniques, uniquement descriptibles par cette statistique.