Théorème de plongement de Nash

En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien.

« De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :

• Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C¹. Il est peu intuitif mais se démontre facilement.
• Le second (1956), portant sur les variétés de classe C^k où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et ${\displaystyle f}$ un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidien ℝⁿ où n ≥ m+1. Alors pour tout ε>0, il existe un plongement ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ de M dans ℝⁿ ayant les propriétés suivantes :

1. ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ est de classe C¹,
2. ${\displaystyle f_{\epsilon }}$ est isométrique, i.e. pour tous vecteurs ${\displaystyle v,w}$ de l'espace tangent à M en un point ${\displaystyle x}$ on a ${\displaystyle g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle }$ où < , > est le produit scalaire canonique de ℝⁿ.
3. ${\displaystyle |f(x)-f_{\epsilon }(x)|<\epsilon }$ pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle M}$.

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. En particulier, d'après le théorème de plongement de Whitney, toute variété riemannienne compacte de dimension m admet un plongement isométrique de classe C¹ dans une boule arbitrairement petite de l'espace euclidien de dimension 2m.

Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C¹-plongée dans une boule arbitrairement petite de ℝ³ (d'après la formule de Gauss-Bonnet, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C³ ; la question est ouverte pour les plongements C²).

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe C^k avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n=m(m+1)(3m+11)/2 suffit, et même n=m(3m+11)/2 si M est compacte^[1]) et un plongement injectif ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle M}$ dans ℝⁿ, également analytique ou de classe C^k, tel que pour tous vecteurs ${\displaystyle v,w}$ de l'espace tangent à M en un point ${\displaystyle x}$ on ait :

${\displaystyle g(v,w)=\langle df_{x}(v),df_{x}(w)\rangle }$.

, dont les références étaient :

• (en) N. H. Kuiper, « On C¹-isometric imbeddings I », dans Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., vol. 58, 1955, p. 545–556
• (en) John Nash, « C¹-isometric imbeddings », dans Annals of Mathematics, vol. 60, 1954, p. 383–396
• (en) John Nash, « The imbedding problem for Riemannian manifolds », dans Annals of Mathematics, vol. 63, 1956, p. 20–63
• (en) John Nash, « Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data », dans Annals of Mathematics, vol. 84, 1966, p. 345–355

• Sujet de l'épreuve d'analyse du concours externe de l'agrégation de mathématiques de 1997
• Terence Tao, « Notes on the Nash embedding theorem », sur What's new, 11 mai 2015

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