Théorie de Kirchhoff

La perturbation sinusoïdale (monochromatique ou harmonique, selon le domaine) ${\displaystyle U_{P}}$ d'une grandeur scalaire physique (totale) ${\displaystyle U_{T}=U_{0}+U_{P}}$ autour d'une valeur moyenne ${\displaystyle U_{0}}$, se propage à la vitesse ${\displaystyle c}$ de façon ondulatoire si cette grandeur respecte l'équation d'onde :

${\displaystyle \Delta U_{T}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U_{T}}{\partial t^{2}}}}$.

Elle peut être écrite sous la forme : ${\displaystyle U_{P}=U\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kct}=U\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}}$. L'équation d'onde peut alors prendre une expression plus simple, nommée équation de Helmoltz :

${\displaystyle \Delta U+k^{2}\,U=0}$.

Cette dernière peut-être résolu à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski : ${\displaystyle \textstyle \int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\,{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\subset \!\!\!\!\supset \!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}}$. En posant ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}=U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1}}$ et sachant que ${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot (U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1})=U_{1}\,\Delta U_{2}-U_{2}\,\Delta U_{1}}$ :

${\displaystyle \int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}(U_{1}\,\Delta U_{2}-U_{2}\,\Delta U_{1})\,{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}(U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1})\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}}$.

Si ${\displaystyle U_{1}}$ et ${\displaystyle U_{2}}$ sont solutions de l'équation de Helmoltz (${\displaystyle \Delta U_{1}+k^{2}\,U_{1}=0}$ et ${\displaystyle \Delta U_{2}+k^{2}\,U_{2}=0}$) , alors ${\displaystyle U_{1}\,\Delta U_{2}-U_{2}\,\Delta U_{1}=0}$ et

${\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}(U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1})\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=0}$.

En posant ${\displaystyle U_{1}=U}$, partie spatiale de ${\displaystyle U_{P}}$, et ${\displaystyle U_{2}={\frac {\mathrm {e} ^{ikr}}{r}}}$, elle-même solution de l'équation de Helmoltz, et en appliquant le résultat précédent au volume contenu entre une petite sphère ${\displaystyle S'}$ de centre ${\displaystyle M}$, et une surface ${\displaystyle S}$ fermée qui englobe la sphère ${\displaystyle S'}$, on peut écrire :

${\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\left(U\,{\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\overrightarrow {\nabla }}U\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}+\underbrace {\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S'}\left(U\,{\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\overrightarrow {\nabla }}U\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}} _{I'}=0}$.

En coordonnées sphériques, ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}}$ est orienté dans le sens de ${\displaystyle -{\overrightarrow {e_{r}}}}$ : ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}=-r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi \,{\overrightarrow {e_{r}}}}$.

En observant que

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)=\left(-{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}}$,

d'où

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}U\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }$,

et en faisant tendre la sphère ${\displaystyle S'}$ vers le point ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle U=U(M)}$ sur toute la surface de la sphère et ${\displaystyle r\rightarrow 0}$, l'intégrale sur la sphère ${\displaystyle S'}$ s'exprime :

${\displaystyle I'=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\int _{0}^{\pi }\left(U-\mathrm {i} kr\,U+r\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi =4\pi \,U(M)}$.

Ceci aboutit enfin à l'expression du théorème intégral de Kirchhoff :

${\displaystyle U(M)={\frac {1}{4\pi }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\overrightarrow {\nabla }}U-U\,{\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}}$.

Le champ issu d'une source ponctuelle ${\displaystyle S}$ est tel que ${\displaystyle U_{S}=U\mathrm {e} ^{-i\omega t}={\frac {u_{0}}{s}}\mathrm {e} ^{iks}e^{-i\omega t}}$ où ${\displaystyle s}$ est la distance à la source. On suppose que la surface d'intégration est telle que ${\displaystyle \lambda \ll r}$ et ${\displaystyle \lambda \ll s}$, les gradients peuvent alors être simplifiés :

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}U={\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {u_{0}}{s}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\right)=\left(-{\frac {1}{s^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} k}{s}}\right)u_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\,{\overrightarrow {e_{s}}}\simeq {\frac {\mathrm {i} k}{s}}\,u_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\,{\overrightarrow {e_{s}}}}$,

et

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)=\left(-{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}\simeq +{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}}$.

La surface étudiée est quelconque mais fermée et ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\overrightarrow {n}}\,\mathrm {d} S}$ de sorte que l'intégrale devienne :

${\displaystyle U(M)={\frac {1}{4\pi }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\frac {\mathrm {i} k}{s}}\,u_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\,{\overrightarrow {e_{s}}}-{\frac {u_{0}}{s}}\mathrm {e} ^{iks}\,{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}}$,

ce qui mène à la formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff :

${\displaystyle U(M)=-{\frac {i\,u_{0}}{\lambda }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}K(\theta ){\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k(r+s)}}{rs}}\mathrm {d} S}$.