Share to:

Théorème de plongement de Nash

En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien.

« De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :

Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C¹. Il est peu intuitif mais se démontre facilement.
Le second (1956), portant sur les variétés de classe C^k où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.

Théorème de plongement C¹ (Nash-Kuiper)

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et $f$ un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidien ℝⁿ où n ≥ m+1. Alors pour tout ε>0, il existe un plongement $f_{\epsilon }$ de M dans ℝⁿ ayant les propriétés suivantes :

$f_{\epsilon }$ est de classe C¹,
$f_{\epsilon }$ est isométrique, i.e. pour tous vecteurs $v,w$ de l'espace tangent à M en un point $x$ on a $g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle$ où < , > est le produit scalaire canonique de ℝⁿ.
$|f(x)-f_{\epsilon }(x)|<\epsilon$ pour tout point $x$ de $M$ .

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. En particulier, d'après le théorème de plongement de Whitney, toute variété riemannienne compacte de dimension m admet un plongement isométrique de classe C¹ dans une boule arbitrairement petite de l'espace euclidien de dimension 2m.

Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C¹-plongée dans une boule arbitrairement petite de ℝ³ (d'après la formule de Gauss-Bonnet, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C³ ; la question est ouverte pour les plongements C²).

Théorème de plongement C^k

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe C^k avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n=m(m+1)(3m+11)/2 suffit, et même n=m(3m+11)/2 si M est compacte^[1]) et un plongement injectif $f$ de $M$ dans ℝⁿ, également analytique ou de classe C^k, tel que pour tous vecteurs $v,w$ de l'espace tangent à M en un point $x$ on ait :

g(v,w)=\langle df_{x}(v),df_{x}(w)\rangle

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nash embedding theorem » (voir la liste des auteurs)

, dont les références étaient :

(en) N. H. Kuiper, « On C¹-isometric imbeddings I », dans Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., vol. 58, 1955, p. 545–556
(en) John Nash, « C¹-isometric imbeddings », dans Annals of Mathematics, vol. 60, 1954, p. 383–396
(en) John Nash, « The imbedding problem for Riemannian manifolds », dans Annals of Mathematics, vol. 63, 1956, p. 20–63
(en) John Nash, « Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data », dans Annals of Mathematics, vol. 84, 1966, p. 345–355

↑ (en) Jia-Xing Hong, Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces, Providence (R.I.), AMS, 2006, 260 p. (ISBN 978-0-8218-4071-9, lire en ligne), xi

Liens externes

Sujet de l'épreuve d'analyse du concours externe de l'agrégation de mathématiques de 1997
Terence Tao, « Notes on the Nash embedding theorem », sur What's new, 11 mai 2015

Portail de la géométrie

Read other articles:

Müfide İlhan

Müfide İlhan Información personalNacimiento 11 de febrero de 1911 Beykoz (Turquía) Fallecimiento 2 de febrero de 1996 (84 años)Bodrum (Turquía) Nacionalidad TurcaLengua materna Turco Información profesionalOcupación Política y pedagoga Partido político Partido Demócrata (Turquía, 1946) [editar datos en Wikidata] Müfide İlhan (19 de febrero de 1911 - 2 de febrero de 1996) fue alcaldesa de Mersin, Turquía, a principios de la década de 1950. Es conocida por ser la prime...

Polusi cahaya

Salah satu bangunan di New York City yang merupakan contoh polusi cahaya. Perbandingan pemandangan langit malam antara kota pedesaan kecil (atas) dengan wilayah metropolitan (bawah). Polusi cahaya mengurangi kenampakan bintang. Polusi cahaya merupakan salah satu jenis polusi. Definisi dari polusi cahaya adalah dampak buruk akibat cahaya buatan manusia. Polusi cahaya biasanya berarti intensitas cahayanya terlalu besar. Beberapa spesies, termasuk tumbuhan dan manusia, mengalami dampak dari polu...

日刊スポーツ新聞西日本

この項目では、日本の新聞社である「日刊スポーツ新聞西日本」について説明しています。発行している新聞については「日刊スポーツ」をご覧ください。株式会社日刊スポーツ新聞西日本The Nikkan Sports News West Japan 日刊スポーツ新聞西日本の本社が入居する中之島フェスティバルタワー種類株式会社本社所在地日本〒530-8334大阪府大阪市北区中之島2-3-18中之島フェステ

Jetyssou

Carte de 1744 incluant la région de Jetyssou. Oblast de Semiretchensk. Jetyssou (en kazakh : Жетісу (Jetısu), translittération anglaise : Zhetysu API : ʒi̯ɘtɘsʊw) est le nom historique d'une ancienne région située au sud-est du Kazakhstan. La région est délimitée par le lac Balkhach au nord, les lacs Sasykkol et Alakol au nord-est, les monts Jungar Alatau au sud-est et les monts Tian au sud. Étymologie Le nom de Jetyssou signifie en français les « Sep...

أتاري 2600

أتاري 2600الشعارمعلومات عامةالنوع نظام لعبة فيديوالصانع شركة اتاريالتوفر في السوق 1977-1993السعر المبدئي 199 دولارالمبيعات 30 مليونأهم التواريختاريخ الإصدار اليابان أكتوبر 1983 (أتاري 2800)أ.ش. سبتمبر 1977أوروبا 1978الشرق الأوسط أوائل عقد 1980فرنسا 1982توقف الإصدار 1 يناير 1992الوظائفوسائط �...

Пічкур дністровський

?Пічкур дністровський Охоронний статус Найменший ризик (МСОП 3.1) Біологічна класифікація Домен: Ядерні (Eukaryota) Царство: Тварини (Animalia) Підцарство: Справжні багатоклітинні (Eumetazoa) Тип: Хордові (Chordata) Підтип: Черепні (Craniata) Надклас: Щелепні (Gnathostomata) Клас: Променепер

Winsen (Aller)

Wappen Deutschlandkarte 52.689.909444444444433Koordinaten: 52° 41′ N, 9° 55′ O Basisdaten Bundesland: Niedersachsen Landkreis: Celle Höhe: 33 m ü. NHN Fläche: 155,85 km2 Einwohner: 13.405 (31. Dez. 2022)[1] Bevölkerungsdichte: 86 Einwohner je km2 Postleitzahlen: 29308, 29229 Vorwahlen: 05143, 05146, 05056Vorlage:Infobox Gemeinde in Deutschland/Wartung/Vorwahl enthält Text Kfz-Kennzeichen: CE Gemeindeschlüssel: 03 3...

Yohanes 21

Yohanes 21Yohanes 21:18-20 pada Papirus 109, yang dibuat pada abad ke-3.KitabInjil YohanesKategoriInjilBagian Alkitab KristenPerjanjian BaruUrutan dalamKitab Kristen4← pasal 20 Kisah Para Rasul 1 → Yohanes 21 (disingkat Yoh 21) adalah pasal kedua puluh satu (dan terakhir) dari Injil Yohanes pada Perjanjian Baru dalam Alkitab Kristen, menurut kesaksian Yohanes, seorang dari Keduabelas Rasul pertama Yesus Kristus.[1][2] Teks Yohanes 21:11-14,22-24 pada Papirus 122 (a...

Wörthersee Stadion

Este artigo não cita fontes confiáveis. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW • CAPES • Google (N • L • A) (Setembro de 2020) Hypo-ArenaGeneralidadesEndereço Klagenfurt ÁustriaConstrução e aberturaAbertura 7 de setembro de 2007UtilizaçãoClubes residentes Sportklub Austria KärntenProprietário KlagenfurtLocalizaçãoCoordenadas 46° 36′ 32″ N, 14° 16�...

Happiness Ahead (1934 film)

1934 film by Mervyn LeRoy For the 1927 silent film of the same title, see Happiness Ahead (1928 film). Happiness AheadDirected byMervyn LeRoyWritten byBrian MarlowHarry SauberProduced byFirst National PicturesStarringDick PowellJosephine HutchinsonCinematographyTony GaudioEdited byWilliam ClemensDistributed byWarner Bros.Release dateOctober 27, 1934Running time86 minutesCountryUnited StatesLanguageEnglish Happiness Ahead is a 1934 American comedy film directed by Mervyn LeRoy and starring Dic...

Parosil Mabsus

Parosil MabsusParosil Mabsus Bupati Lampung BaratBupati Lampung Barat ke-6Masa jabatan12 Desember 2017 [1] – 11 Desember 2022PresidenJoko WidodoGubernurMuhammad Ridho FicardoArinal DjunaidiWakilMad HasnurinPendahuluMukhlis BasriPenggantiNukman Informasi pribadiLahir12 Maret 1974 (umur 49)Lampung Barat, LampungKebangsaanIndonesiaPartai politikPDI PerjuanganKerabatMukhlis Basri (kakak)Alma mater Universitas LampungPekerjaanGuru Anggota DPRD Lampung Barat Bupati Lampu...

الدوري الإسباني الدرجة الثانية 1930–31

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (نوفمبر 2019) الدوري الإسباني الدرجة الثانية 1930–31 تفاصيل الموسم دوري الدرجة الثانية الإسباني البلد إسبانيا ال�...

Jalur Sutra

Rute Jalur Sutra Jalur Sutra (Hanzi tradisional: 絲綢之路; Hanzi sederhana: 丝绸之路; pinyin: sī chóu zhī lù, bahasa Persia راه ابریشم Râh-e Abrisham) adalah sebuah jalur perdagangan melalui Asia yang menghubungkan antara Timur dan Barat dengan dihubungkan oleh pedagang, pengelana, biarawan, prajurit, nomaden dengan menggunakan karavan dan kapal laut, dan menghubungkan Chang'an, Republik Rakyat Tiongkok, dengan Antiokhia, Suriah, dan juga tempat lainnya pada waktu yang b...

WVNS-TV

CBS/Fox/MyNetworkTV affiliate in Lewisburg, West Virginia WVNS redirects here. For the Nashville, Tennessee, radio station which once used the WVNS-FM callsign, see WPRT-FM. WVNS-TVLewisburg/Bluefield/Beckley, West VirginiaUnited StatesCityLewisburg, West VirginiaChannelsDigital: 11 (VHF)Virtual: 59BrandingCBS 59; Fox 5959 NewsProgrammingAffiliations59.1: CBS59.2: Fox/MyNetworkTV[1]OwnershipOwnerNexstar Media Group(Nexstar Media Inc.)HistoryFoundedJune 18, 1992First air dateAugust...

Giovanni Battista Lercari (1507–1592)

Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan. Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan [[ dan ]] pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut...

Majapahit

Majapahit beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Majapahit (disambiguasi). Kemaharajaan Majapahit꧋ꦩꦙꦥꦲꦶꦠ꧀1293–1527 Warna kebesaran[a] Surya Majapahit Peta wilayah kekuasaan Majapahit berdasarkan Nagarakertagama[1]StatusKemaharajaanIbu kota Tarik (masa Raden Wijaya) Trowulan (masa Jayanagara) Bahasa yang umum digunakanJawa Kuno (utama), Sanskerta (religius)Agama Siwa-Buddha (pencampuran Siwaisme dan Buddhisme) Hindu Buddha Islam Kapitayan Anim...

Radio teleswitch

Electric grid operating device Economy 7 meter and radio teleswitch, right A radio teleswitch is a device used in the United Kingdom primarily to allow electricity suppliers to switch large numbers of electricity meters between different tariff rates, by broadcasting an embedded signal in broadcast radio signals. Radio teleswitches are also used to switch on/off consumer appliances to make use of cheaper differential tariffs such as Economy 7. Service role The typical use of a teleswitch is t...

As Time Goes

2020 single by JinsoulAs Time GoesSingle by Jinsoulfrom the album Meow, the Secret Boy (Original Television Soundtrack) ReleasedApril 15, 2020 (2020-04-15)Length3:06LabelDonuts Music NDreamusSongwriter(s)Jay LeeProducer(s)Jay LeeJinsoul singles chronology JinSoul (2017) As Time Goes (2020) Music videoAs Time Goes Video on YouTube As Time Goes (Korean: 시간은 한 바퀴 돌아; RR: sigan-eun han bakwi dol-a) is a song recorded by South Korean singer Jins...

List of Blackadder characters

Main characters from Blackadder Goes Forth: Darling (left), Melchett (centre), George Colthurst (right), Baldrick (bottom right), Blackadder (bottom left) This article lists the characters in the four series and three special episodes of the British sitcom Blackadder. Blackadder was notable for featuring actors playing many repeating characters across different eras of history, with Rowan Atkinson as the central character Edmund Blackadder, and Tony Robinson as his sidekick Baldrick, together...

鹿児島県を舞台とした作品一覧

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: 鹿児島県を舞台とした作品一覧 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2020年3月）鹿児島県を舞台とした作�...

Lijst van veldslagen (chronologisch)

جيسينيس

Bahn (Verkehr)

Plaice

سانت جون (جزر العذراء الأمريكية)

National Fascist Party

الأسرة (السوادية)

Bindon Abbey