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Treillis

Présentation

Type	Structure (en)

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En mécanique technique, un treillis, ou système triangulé, système réticulé et système en treillis, est un assemblage de barres verticales, horizontales et diagonales formant des triangles, souvent un ouvrage porteur plat ou spatial, conçu de sorte que chaque barre subisse un effort acceptable, et que la déformation de l'ensemble soit modérée.

Cette structure est devenue courante en construction à partir de la révolution industrielle, pour des ponts, fuselages d'avion, etc. En effet, un tel assemblage allie résistance, rigidité et légèreté, et permet d'utiliser des éléments normalisés (barres) ; par ailleurs, le treillis peut éventuellement être préassemblé.

Lorsqu'un treillis est soumis à un effort, certaines parties de l'assemblage sont mises en compression et d'autres parties en tension. Par exemple, dans le cas d'un pont en treillis, les poutres supérieures sont comprimées, les poutres inférieures sont tendues, et les pièces en diagonale évitent le vrillage des poutres principales.

Les connexions des barres les unes aux autres sont appelées nœuds. Le système réticulé est connectée à l’environnement au travers de nœuds spéciaux, les appuis. Ce qui n'est pas structures à barres est appelé structures de surface ; ils constituent tous deux les ouvrages porteurs.

Si le treillis dans son ensemble a une forme allongée, les côtés longs assimilables à des « ailes » sont appelée « corde » et les barres de limitation sont appelée membrures.

Les axes des barres concourent en nœuds ; ce sont les points d'assemblage des barres. D'un point de vue mécanique, les nœuds sont modélisés par des articulations parfaites. Initialement, pour simplifier les calculs, les charges n'étaient appliquées qu'aux seuls nœuds ; l'utilisation de la méthode des éléments finis permet de s'affranchir de cette simplification.

Un système réticulé statiquement sous-déterminé (« cinématique ») serait mobile sur ses fondations ou à l’intérieur de lui-même, c’est-à-dire instable. Les systèmes réticulés statiquement surdéterminés (= système réticulé statiquement indéterminés) sont généralement plus stables que les systèmes réticulés statiquement déterminés. Les systèmes statiquement indéterminés ne peuvent pas être résolus clairement en utilisant uniquement les conditions d’équilibre ; des conditions aux limites de déformation supplémentaires sont nécessaires. La dilatation thermique et le tassement des fondations peuvent provoquer des contraintes et des déformations internes secondaires (c'est-à-dire en plus des charges externes telles que le poids des composants, les charges de neige (de) et charge utile de trafic et la pression du vent (de)). Les imprécisions de fabrication dans les longueurs de barre peuvent rendre l'assemblage plus difficile et peuvent également conduire à des sollicitations (de) et déformations internes secondaires (contraintes, voir aussi zwängung).

À partir des conditions d'équilibre, les critères dits de comptage (Abzählkriterium) ont été développés comme méthode de détermination simplifiée pour les systèmes réticulés en particulier pour les treillis. Cependant, ils ne fournissent pas toujours le résultat correct dans les cas limites, ce qui n’est pas évident en raison de leur application schématique.

Les concepteurs de systèmes réticulés expérimentés utilisent donc d'autres critères tels que le Critères de démantèlement ou Critères de construction (Abbaukriterien- Aufbaukriterien : Que se passe-t-il si une barre est supprimée ou une barre est ajoutée ?). La réponse sûre pour chaque cas et pour les inexpérimentés ne découle que du travail avec les conditions d’équilibre.

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Le degré de détermination statique d'un système réticulé est déterminé par la taille entière ${\displaystyle n}$ déclaré:

${\displaystyle n>0}$ hyperstatisme, statiquement surdéterminé / indéterminé ou ,

${\displaystyle n=0}$ isostatisme,

${\displaystyle n<0}$ hypostatisme, statiquement sous-déterminé (« cinématique » c’est-à-dire mobile).

En règle générale, des barres ou des poutres droites sont utilisées. Un système réticulé dont les éléments sont uniquement soumis (de) à une compression ou à une tension (effort normal), c'est-à-dire non soumis à un effort tranchant ou à un moment fléchissant, est appelé treillis en langage technique. Les barres (poutres) sujettes à la flexion sont généralement dimensionnées plus larges que les barres minces d'une treillis idéal (idealen Fachwerks).

Les composantes de force sont transmises de barre en barre via les nœuds. Les barres peuvent être reliées entre elles de manière rigide (de) ou flexible^[1]. Les coins rigides transfèrent les moments fléchissants entre les poutres connectées.

A l'endroit des appuis, les composantes de force (forces et couples) sont transférées du système réticulé vers l'environnement. En fonction du nombre de composantes de force transmises, un appui est caractérisé comme univalent, bivalent, ... (jusqu'à n valeurs : n=3 pour plat, n=6 pour système réticulé spatial)^[2]. Dans une structure plate, un pivot ou rotule fixe est bivalent (articulation), un pivot glissant en direction de la structure est monovalent (appuis simple) et un encastrement est trivalent.

Dans un treillis parfait (idealen Fachwerken), les barres ne sont soumises qu'à des forces normales (traction ou compression).

Dans les treillis réels (realen Fachwerken), des moments fléchissant mineurs se produisent généralement également. Cela crée des tensions dites secondaires (de) .

Dans les calculs statiques (de), les connexions peuvent être traitées comme des pivots (sans frottement) lors du prédimensionnement.

Les calculs de treillis ou structures sont une application de la mécanique statique. Pour mener les calculs, on considère les hypothèses suivantes :

• le poids des barres est négligé ;
• les liaisons sont toutes des rotules (ou des pivots dans le cas d'un treillis plan), les barres peuvent librement tourner les unes par rapport aux autres ; en effet, même si les poutres sont fixes entre elles, si l'on applique un effort transversal à une extrémité d'une barre, le moment de la force à l'autre extrémité et la concentration de contrainte à l'angle feront que l'articulation bougera, ce qui mènera à la rupture ;
• les charges extérieures sont appliquées aux nœuds.

Ces hypothèses sont indispensables pour les calculs à la main. L'utilisation de logiciels permet de s'affranchir de ces hypothèses, notamment en prenant en compte la déformation des barres. La résistance de chacune des barres relève de la résistance des matériaux. Par contre, ces hypothèses restent la base des calculs de stabilité.

La stabilité consiste à déterminer l'isostatisme : chaque poutre pouvant tourner, il faut « suffisamment de barres » pour qu'elles se bloquent entre elles. Si l'on a juste le nombre suffisant de barres, on est dans un cas isostatique : c'est le cas le plus économique et le plus léger, puisque l'on a le minimum de barres et de liaisons à réaliser, mais si une seule poutre cède, l'ensemble n'est plus stable. Les structures sont donc fréquemment hyperstatiques. Cependant, les calculs dans le cas hyperstatique sont plus compliqués, puisque les équations de la statique ne suffisent plus.

Lors de calculs manuels, il est souvent possible de transformer un treillis hyperstatique en un cas isostatique, en négligeant les barres comprimées (en admettant qu'elles flambent) sous un cas de charge donné. Dans les exemples qui suivent, nous ne considérerons que des problèmes isostatiques.

Le calcul de stabilité revient donc à vérifier que le degré d'hyperstaticité est positif ou nul^[3]. Pour simplifier, on se place dans le cas d'un problème plan :

• on a une structure statique, elle n'a donc aucune mobilité : m = 0 ;
• on a p poutres (barres) ; on peut écrire le principe fondamental de la statique (PFS) pour chaque poutre, on a donc 3×p équations (équilibre des forces selon x, équilibre des forces selon y, équilibre des moments) ;
• on a un certain nombre de liaisons, et chaque liaison a n_s inconnues (efforts transimssibles), le nombre total d'inconnues est N_s = ∑n_s.

Le degré d'hyperstatisme est défini par

H = N_s - 3×p.

La structure est stable si H ≥ 0 :

• elle est isostatique si H = 0 ;
• elle est hyperstatique si H > 0 ;
• elle est instable si H < 0.

Dans un problème plan, une articulation a n_s = 2 inconnues statiques : elle peut transmettre une force de direction arbitraire (inconnue selon x et selon y) mais ne peut pas transmettre de moment. Un nœud entre deux barres a donc 2 inconnues statiques ; mais en dehors des angles extérieurs, un nœud lie trois barres ou plus.

Si un nœud lie trois barres, nous sommes en présence de deux articulations indépendantes ; d'un point de vue cinématique, on peut considérer que l'on a une barre de référence (le « bâti »), et les autres barres sont reliées à cette barre-là, de manière indépendante. On a donc 4 inconnues statiques. De manière générale, si un nœud lie q barres, on a 2(q - 1) inconnues statiques.

Par ailleurs, la liaison avec le sol ou les parois peut être de deux natures : articulation ou appui simple. Une articulation rajoute deux inconnues, et un appui simple une seule inconnue (la direction de la force est connue, perpendiculaire à l'appui).

Dans le cas où le treillis a deux liaisons avec l'environnement (sol, paroi), on peut encore simplifier l'approche^[4] : soit b le nombre de poutres et n le nombre de nœuds,

• si la structure est sur deux appuis simples (ou une articulation et un appui simple), elle est stable si

  b = 2n - 3 ;

• si la structure est sur deux articulations, elle est stable si

  b = 2n - 4.

Exemple

Prenons le cas d'une ferme Polonceau sur deux appuis, une articulation à gauche et un appui simple à droite. Nous avons onze barres et sept nœuds.

Avec la méthode générale, nous avons :

• p = 11, donc 3×11 = 33 équations de la statique ;
• pour les différents nœuds :
  • nœuds n2, n3 et n6 : liaisons entre quatre barres, donc 2×3 = 6 inconnues statiques par nœud, soit un total de 3×6 = 18 inconnues,
  • nœuds n5 et n7 : liaisons entre trois barres, donc 4 inconnues par nœud, soit 8 inconnues au total,
  • nœud n1 : lien entre deux barres et articulation avec le sol, soit 2 + 2 = 4 inconnues,
  • nœud n4 : lien entre deux barres et appui simple avec le sol, soit 2 + 1 = 3 inconnues.

Le degré d'hyperstaticité vaut

H = (18 + 8 + 4 + 3) - 33 = 0

le treillis est donc isostatique.

Avec la méthode simplifiée, nous avons :

• b = 11 ;
• n = 7 ;

donc

2n - 3 = 2×7 - 3 = 11 = b

la condition d'isostaticité est donc vérifiée.

La première chose est de savoir comment chaque élément va être chargé : intensité de la force et sens (traction ou compression). Il s'agit d'un calcul de statique.

La méthode analytique de référence est la méthode des nœuds : on isole les nœuds un par un et l'on écrit le principe fondamental de la statique. C'est une méthode précise mais longue et fastidieuse pour les grandes structures. On peut déterminer les efforts dans trois poutres simultanément en utilisant la méthode de Ritter, ou méthode des sections, qui utilise le principe de la coupure.

Pour les grandes structures, avant le développement des logiciels de calcul, on utilisait des méthodes graphiques :

• méthode de Ritter associée à la méthode de Culmann^[5] ;
• épure de Cremona^[6].

Les charges déterminées par la statique permettent de choisir les poutres : profil (qui détermine le moment quadratique) et matériau (qui détermine le module de Young). Les différents éléments doivent vérifier :

• les conditions de résistance des matériaux (stabilité de résistance), ce que l'on appelle « vérification de l'état limite ultime » (ELU) ;
• les conditions de déformation et de déplacement (stabilité de forme), ce que l'on appelle « vérification de l'état limite en service » (ELS).

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Système réticulé (mécanique technique) » (voir la liste des auteurs).

• (de) Klaus-Jürgen Schneider, Erwin Schweda: Statisch bestimmte ebene Stabwerke. 2 Bde. 3., neubearb. Aufl., Werner, Düsseldorf 1985, (ISBN 3-8041-3377-0) et (ISBN 3-8041-3378-9) [lire en ligne].
• (de) Alfred Teichmann (dir.), « Fachwerk », dans Statisch bestimmte Stabwerke, Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 18 mai 2020 (lire en ligne).
• (de) Walter Wunderlich (de), Gunter Kiener: Statik der Stabtragwerke. Teubner, Stuttgart 2004, (ISBN 3-519-05061-7) [lire en ligne].
• (de) Konstantin Meskouris (de), Erwin Hake: Statik der Stabtragwerke : Einführung in die Tragwerkslehre. 2. Aufl., Springer, Berlin 2009, (ISBN 978-3-540-88992-2) [lire en ligne].
• (de) Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, (ISBN 978-3-433-03134-6) [lire en ligne].

• Pont en treillis
• Ferme (charpente)
• Pylone électrique
• Poutre échelle
• Pont Vierendeel

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Brockhaus
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Store norske leksikon
• Notices d'autorité :

  • LCCN
  • Japon
  • Israël
• Treillis « plans » sur le site de la Haute École HELMo

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