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Pour un objet de masse aussi faible que celle de l’électron, la mécanique quantique autorise des vitesses supérieures à celle de la lumière sur des échelles de distance supérieure au rayon de Schwarzschild de l’électron[réf. nécessaire].
Le rayon de Schwarzschild
Le rayon de Schwarzschild (rs) d’une masse quelconque se calcule avec la formule :
où :
si m représente la masse d'un électron (9,109×10−31kg), cela donne comme valeur de rayon :
rs = 1,353×10−57m, soit vingt deux ordres de grandeurs plus petit que la longueur de Planck !
Donc, si l'électron atteignait un rayon aussi faible que cette valeur, il deviendrait une singularité gravitationnelle. Il aurait alors un certain nombre de propriétés communes avec les trous noirs. Dans la métrique de Reissner–Nordström, qui décrit les trous noirs chargés électriquement, une quantité analogue rq se définit comme étant :
où :
Pour un électron avec q = -e = −1,602×10−19C, cela donne pour valeur du :
rq = 9,152×10−37m.
Cette valeur suggère qu'un trou noir électronique devrait être super-extrémal, et avoir une singularité nue. La théorie de l'électrodynamique quantique (EDQ) traite les électrons comme des particules ponctuelles, vision parfaitement compatible avec les expérimentations. En pratique, cependant, les expériences sur les particules ne peuvent pas fouiller des largeurs d'échelles énergétiques arbitrairement choisies, et donc les expériences reposant sur l'EDQ lient le rayon de l'électron à des valeurs inférieures à la longueur d'onde de Compton d'une masse importante de l'ordre de GeV, ou :
Aucune expérience n'est donc en mesure de prouver que la valeur de r est aussi faible que rs, ces deux valeurs étant inférieures à la longueur de Planck. Les trous noirs super-extrémaux sont généralement considérés comme instables. De plus, toute physique portant sur des dimensions inférieures à des longueurs de Planck nécessite probablement une théorie cohérente de la gravité quantique (à supposer que de telles dimensions aient un sens physique).
↑(en) A. Einstein, L. Infeld et B. Hoffmann, « The Gravitational Equations and the Problem of Motion », Annals of Mathematics, vol. 39, , p. 65–100 (DOI10.2307/1968714, lire en ligne, consulté le )
Williamson, J. G., and Van der Mark, M. B. (1997) "Is the electron a photon with toroidal topology?" (L'électron est-il un photon à toplologie toroïdale ?) Annales de la Fondation Louis de Broglie 22(2): 133.
The Geometry of the Torus Universe, relatif à "l'ensemble hiérarchique de Cantor dans une structure à grande échelle à trois dimensions à géometrie torique".
Littérature populaire
Brian Greene, L'Univers élégant (L'Univers élégant : supercordes, dimensions cachées et la quête de la Théorie Ultime), (1999), (v. chapitre 13).