Variété de Shimura

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En algèbre, les variétés de Shimura sont des analogues de dimension élevée des courbes modulaires. Elles sont formées comme la variété de quotient d'un espace hermitien symétrique par rapport à un sous-groupe de congruence d'un groupe réductif algébrique (défini sur les nombres rationnels).

Les variétés de Shimura portent le nom du mathématicien nippo-américain Gorō Shimura.

Notation:

• ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ est le groupe multiplicatif (un groupe algébrique), c'est-à-dire^[1]

${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} k[S,T]/(ST-1).}$

• ${\displaystyle \mathbb {S} =\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}}$ est le tore de Deligne, c'est-à-dire le tore algébrique sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, que l'on obtient de ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ par la restriction de Weil (restriction des scalaires (en))^[2].
• ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }^{\operatorname {ad} }}$ est le groupe adjoint de ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$, c'est-à-dire le groupe de quotient de${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$ avec son centre.
• ${\displaystyle \mathbb {A} _{f}}$ est l'anneau adélique finie de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, c'est-à-dire le produit restreint

${\displaystyle \mathbb {A} _{f}=\prod _{l}(\mathbb {Q} _{l},\mathbb {Z} _{l}):=\left\{(a_{l})\in \prod \mathbb {Q} _{l}\mid a_{l}\in \mathbb {Z} _{l}{\text{ vaut pour presque tout }}l\right\}}$

où ${\displaystyle l}$ parcourt les éléments premiers finis de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[3].

• ${\displaystyle \Gamma _{g}}$ est le sous-groupe ${\displaystyle gKg^{-1}\cap G(\mathbb {Q} )_{+}}$ de ${\displaystyle G(\mathbb {Q} )_{+}}$.
• ${\displaystyle X^{+}}$ est composant connexes de ${\displaystyle X}$.

Une donnée de Shimura est une paire ${\displaystyle (G,X)}$ constitué d'un groupe réductif ${\displaystyle G}$ sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et une classe ${\displaystyle G(\mathbb {R} )}$-conjugaison ${\displaystyle X}$ des homomorphismes ${\displaystyle h:\mathbb {S} \to G_{\mathbb {R} }}$, qui doit vérifier :

1. Pour tout ${\displaystyle h\in X}$, ${\displaystyle \operatorname {Ad} \circ h}$ définit une structure de Hodge sur l'algèbre de Lie ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{\mathbb {R} })}$ de type

   ${\displaystyle \{(-1,1),(0,0),(1,-1)\}.}$

2. Pour tout ${\displaystyle h\in X}$, l'operation ${\displaystyle \operatorname {ad} (h(i))}$ est une involution de Cartan de ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }^{\operatorname {ad} }}$.
3. ${\displaystyle G^{\operatorname {ad} }}$ n'a pas de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-facteur sur lequel la projection de ${\displaystyle h}$ est triviale^[4]

Exemple

• Soit ${\displaystyle G:=GL_{2}(\mathbb {Q} )}$ et ${\displaystyle h:\mathbb {S} \to GL_{2}(\mathbb {R} )}$ (la notation GL désignant les groupes linéaires) défini par

${\displaystyle h:a+b{\rm {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$

et ${\displaystyle X}$ est l'ensemble des ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}$-conjugués de ${\displaystyle h}$

${\displaystyle X:=\{h_{g}:=ghg^{-1}\}_{g\in GL_{2}(\mathbb {R} )}.}$

Alors ${\displaystyle (G,X)}$ est une donnée de Shimura^[5].

Soit ${\displaystyle (G,X)}$ une donnée de Shimura.

Espace de double classe

Pour un sous-groupe compact et ouvert ${\displaystyle K\subset G(\mathbb {A} _{f})}$, on définit l'espace de double classe (en anglais double coset space) par

${\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X):=G(\mathbb {Q} )\setminus X\times G(\mathbb {A} _{f})/K,}$

avec l'opération

${\displaystyle q(x,a)k=(qx,qak),\quad q\in G(\mathbb {Q} ),\quad x\in X,\quad a\in G(\mathbb {A} _{f}),\quad k\in K.}$

Cette opération signifie que ${\displaystyle G(\mathbb {Q} )}$ opère sur les deux composants ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ à partir de la gauche. ${\displaystyle K}$ n'opère que sur la deuxième composante ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ à partir de la droite.

${\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X)}$ est une union disjointe finie de variétés arithmétiques localement symétriques

${\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X)=\bigsqcup _{g}\Gamma _{g}\setminus X^{+}}$

(voir par exemple ^[6] pour la définition de telles variétés algébriques ${\displaystyle \Gamma _{g}\setminus X^{+}}$).

Si on fait varier ${\displaystyle K}$ (suffisamment petit), on obtient un système inverse (aussi appelé système projectif) de variétés algébriques

${\displaystyle (\operatorname {Sh} _{K}(G,X))_{K}.}$

${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ opère sur ce système à travers

${\displaystyle K\mapsto g^{-1}Kg,\quad g\in G(\mathbb {A} _{f})}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}(g):\operatorname {Sh} _{K}(G,X)&\to \operatorname {Sh} _{g^{-1}Kg}(G,X)\\(x,a)&\mapsto (x,ag).\end{aligned}}}$

Ce système inverse muni de l'opération ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{f})}$ est appelé variété de Shimura et est noté avec ${\displaystyle \operatorname {Sh} (G,X)}$^[7].

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