Función continua

En matemáticas, unha función continua é aquela para a que, intuitivamente, para puntos próximos do dominio prodúcense pequenas variacións nos valores da función; aínda que en rigor, nun espazo métrico significa o contrario, que pequenas variacións da función implican que deben estar próximos os puntos. Se a función non é continua, dise que é descontinua. Unha función continua de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é aquela cunha gráfica que pode debuxarse sen levantar o lapis do papel (máis formalmente a súa gráfica é un conxunto conexo).

A continuidade de funcións é un dos conceptos principais da análise matemática e da topoloxía.

Unha primeira forma da definición (ε, δ) de continuidade foi dada por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definiu a continuidade de ${\displaystyle y=f(x)}$ como segue: un incremento infinitamente pequeno ${\displaystyle \alpha }$ da variable independente x sempre produce un cambio infinitamente pequeno ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ da variable dependente y. Cauchy definiu cantitades infinitamente pequenas en termos de cantidades variables, e a súa definición de continuidade é paralela á definición infinitesimal empregada na actualidade. A definición e a distinción entre continuidade nun punto e continuidade uniforme foi dada por primeira vez por Bolzano na década de 1830 mais a súa obra non foi publicada ata cen anos despois. Como Bolzano,^[1] Karl Weierstrass^[2] negou a continuidade dunha función nun punto c a menos que estivese definida a ambos os lados de c, mais Édouard Goursat^[3] permitía que unha función estivese definida só nun lado de c, e Camille Jordan^[4] incluso se a función estaba definida só no punto c. Todas estas definicións non equivalentes de continuidade nun punto aínda se empregan.^[5]

Eduard Heine achegou a primeira definición de continuidade uniforme en 1872, pero baseou estas ideas en traballos de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1854.^[6]

Informalmente falando, unha función f definida sobre un intervalo I é continua se a curva que a representa, é dicir o conxunto dos puntos (x, f(x)), con x en I, está constituída por un trazo continuo, é dicir un trazo que non está roto, nin ten "ocos" nin "saltos", como na figura da dereita.

O intervalo I de x é o dominio de definición de f, definido como o conxunto dos valores de x para os cales existe f(x).

O intervalo J de y é o rango (tamén coñecido como imaxe) de f, o conxunto dos valores de y, tomados como y = f(x). Escríbese J = f(I). Notar que en xeral, non é igual que o codominio (só é igual se a función é sobrexectiva.)

O maior elemento de J chámase o máximo absoluto de f en I, e o menor valor de J é o seu mínimo absoluto no dominio I.

Unha función f é continua nun punto x₀ no dominio da función se:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\;}$

tal que para toda x no dominio da función:

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$

Isto pódese escribir en termos de límites da seguinte maneira: Se x₀ é punto de acumulación do dominio da función entón é continua en x₀ se e só se ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$. Cando x₀ non é de acumulación do dominio, a función é continua nese punto.

No caso das aplicacións de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e dunha maneira máis rigorosa dise que unha función f é continua nun punto x₁ se existe f(x1), se existe o límite de f(x) cando x tende a x₁ pola dereita, se existe o límite de ${\displaystyle }$ (x) cando x tende a x₁ pola esquerda, e ademais ambos coinciden con f(x₁).^[7]

${\displaystyle {\color {Blue}(7)}\;f(x_{1})=L_{(x_{1})}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(5)}\;L_{(x_{1})}=L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(3)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{+}\land \exists \;L_{(x_{1})}^{-}\;\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(1)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{+}={\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{+}}f(x)}\\\\{\color {Blue}(2)}\;\exists \;L_{(x_{1})}^{-}={\displaystyle \lim _{x\to {x_{1}}^{-}}f(x)}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(4)}\;L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(6)}\;\exists f(x_{1})\end{array}}\right.}$

Así pois, unha función f continua no punto x₁ implica o seguinte: 1. Existe o límite pola dereita:

${\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} }$

2. Existe o límite pola esquerda:

${\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R} }$

3. A función ten límite pola dereita e pola esquerda do punto x₁

${\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} \quad \land \quad \exists \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R} }$

4. O límite pola dereita e o límite pola esquerda coinciden:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)}$

5. Se existen o límite pola dereita e pola esquerda e os seus valores coinciden, a función ten límite neste punto:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)}$

6. Existe f(x₁):

${\displaystyle \exists f(x_{1})}$

7. O límite e o valor da función coinciden:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)=f(x_{1})}$

A función é continua nese punto. Unha función é continua nun intervalo se é continua en todos os seus puntos.

Se f(x₁)= y₁, a continuidade en x₁ exprésase así:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}}f(x)=y_{1}}$

Parafraseando, cando x se aproxima a x₁, f(x) aproxímase a y₁. Por definición dos límites, isto significa que para todo intervalo aberto J, centrado en y₁, existe un intervalo aberto I, centrado en x₁, tal que ${\displaystyle f(I)\in J}$.

Se f ten un salto no punto, o teorema non se cumpre. En efecto, non todo intervalo I ao redor de x₁ ten a súa imaxe nun intervalo J centrado en y₁, cun raio inferior ao salto de f; non importa o pequeno que este intervalo sexa, hai valores de x do intervalo I ao redor de x₁ que ten a súa imaxe nun intervalo K centrado en y₂, sendo y₁ e y₂ valores distintos, isto é: x ten imaxes que saen de J.

A vantaxe desta definición é que se xeneraliza a calquera espazo topolóxico.

Unha función f é continua pola esquerda no punto ${\displaystyle x=x_{1}}$ se o límite lateral pola esquerda e o valor da función no punto son iguais. É dicir:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=f(x_{1})}$

como na figura.

Unha función f é continua pola dereita no punto ${\displaystyle x=x_{1}}$ se o seu límite lateral pola dereita e o valor da función no punto son iguais. É dicir:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1})}$

Unha función f é continua nun punto se é continua pola esquerda e é continua pola dereita. Isto é:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1})}$

Un valor c pertence a un intervalo aberto I, de extremo esquerdo a e extremo dereito b, representado I= (a, b) se:

${\displaystyle a<c<b\;}$

Unha función f é continua nun intervalo aberto I= (a, b), se e só se a función é continua en todos os puntos do intervalo, é dicir:

${\displaystyle \forall c\in I=(a,b):\quad \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$

Un valor c pertence a un intervalo pechado I, de extremo esquerdo a e extremo dereito b, representado I= [a, b] se:

${\displaystyle a\leq c\leq b\;}$

Unha función f é continua nun intervalo pechado [a, b] se a función é continua no intervalo aberto (a, b) e é continua pola dereita da e continua pola esquerda de b:

${\displaystyle \forall c\in I=[a,b]:\quad \lim _{x\to c}f(x)=f(c)\quad \land \quad \lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)\quad \land \quad \lim _{x\to b^{-}}f(x)=f(b)}$

As funcións polinómicas, trigonométricas: seno e coseno, as exponenciais e as logarítmicas son continuas nos seus respectivos dominios de definición.

A parábola, como función polinómica, é un exemplo de función continua ao longo de todo o dominio real.

Na gráfica vese a función seno que é periódica, limitada e continua en todo o domino real. Dado o seu carácter periódico, con ver un só dos ciclos é suficiente para comprobar a continuidade, porque o resto dos ciclos son exactamente iguais.

As funcións definidas para distintos intervalos de x poden ser descontinuas nos puntos de cambio de intervalo, por exemplo:

• A función parte enteira de x, E(x), onde E(x) é o maior número enteiro inferior ou igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

A súa gráfica é unha sucesión de segmentos horizontais a distintas alturas. Esta función non é continua nos enteiros, pois os límites á esquerda e á dereita difiren dun, pero é continua nos segmentos abertos (n, n+1) onde é constante.

• Outra función definida por intervalo é a función signo.

As funcións racionais son continuas nun intervalo axeitado. Un exemplo disto é a función inverso de x:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

Esta función é unha hipérbole composta por dous tramos. x < 0 e x > 0. Como se ve, efectivamente é continua en todo o dominio ${\displaystyle \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)}$ porque non está definida en x= 0. Se se estende o dominio da función a ℝ (dándolle un valor arbitrario a f(0)) a función será descontinua.^[8])

Estes son algúns dos teoremas máis importantes sobre funcións continuas.

1. Teorema de Weierstrass: Se f é continua en ${\displaystyle [a,b]}$ entón presenta máximos e mínimos absolutos.
2. Teorema de Bolzano: Se f é continua en ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\displaystyle f(a)f(b)<0}$, entón ${\displaystyle \exists c\in (a,b)}$ tal que ${\displaystyle f(c)=0}$.
3. Teorema do valor intermedio: Se f é continua en ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\displaystyle f(a)<k<f(b)}$ entón ${\displaystyle \exists c\in (a,b)}$ tal que ${\displaystyle f(c)=k}$.

Anotación: Se f é unha función sobre un conxunto compacto entón, a función ten un máximo ou un mínimo. Sobre un conxunto aberto tense o seguinte contraexemplo: a función ${\displaystyle f(x)=1/x}$ é continua sobre ${\displaystyle (0,1)}$ pero non é limitada.

As funcións derivables son continuas. Se unha función é derivable en x=a entón é continua en x=a. De modo que a continuidade é unha condición necesaria para a derivabilidade. É dicir, o conxunto das funcións derivables é parte das funcións continuas.

Cómpre notar que o recíproco non é válido; é dicir que nada se pode afirmar sobre a derivabilidade dunha función continua. Un exemplo claro desta situación é a función valor absoluto f(x)= |x| que aínda que é continua en todo o seu dominio non é derivable en x=0. Mesmo hai funcións continuas en todo ℝ pero non derivables en ningún punto (as funcións do movemento browniano verifican isto con probabilidade 1).

Unha función ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$, dise que:

• é de clase ${\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}$ cando é continua en todo o dominio ${\displaystyle \Omega }$
• é de clase ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\,}$ se está definida en todo o dominio ${\displaystyle \Omega }$ xunto coas súas derivadas até orde ${\displaystyle k\geq 1}$ e todas elas son continuas.
• é de clase ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\,}$ se ten derivadas continuas de calquera orde. As funcións deste tipo non son nercesariamente analíticas.
• é de clase ${\displaystyle C^{-1}(\Omega )\,}$ se é a derivada no sentido das distribucións dunha función de clase ${\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}$.
• Unha función xeneralizada dise de clase ${\displaystyle C^{-k}(\Omega )\,}$ se é a derivada k-ésima no sentido das distribucións dunha función de clase ${\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}$.

Calquera función polinómica dunha variable é unha función de clase ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$. A función xeneralizada denominada delta de Dirac é unha función de clase ${\displaystyle C^{-2}(\mathbb {R} )\,}$ xa que é a derivada segunda da función rampla que é continua, e a derivada primeira da función en esqueira de Heaviside que é de clase ${\displaystyle C^{-1}}$

Pódense dar exemplos que mostran que hai funcións de clase ${\displaystyle C^{k}(\Omega )\,}$ que non son de clase ${\displaystyle C^{k+1}(\Omega )\,}$. Os exemplos clásicos son ${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\operatorname {sen}(1/x)}$.

Sexan ${\displaystyle (X,T_{X})}$ e ${\displaystyle (Y,T_{Y})}$ dous espazos topolóxicos. Unha aplicación ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ dise que é continua se ${\displaystyle f^{-1}(G)}$ é un aberto de ${\displaystyle X}$, calquera que sexa o aberto ${\displaystyle G}$ de ${\displaystyle Y}$. Esta é a continudade vista globalmente, a que segue é a continuidade nun punto do dominio.

Esta definición redúcese á definición ordinaria de continuidade dunha función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ se sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ se considera a topoloxía inducida pola distancia euclidiana.

Coa mesma notación anterior, se ${\displaystyle x\in X}$, dise que ${\displaystyle f}$ é continua en ${\displaystyle x}$ cando se obtén que ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ é unha veciñanza de ${\displaystyle x}$, calquera que sexa a veciñanza ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle f(x)}$.

É inmediato entón comprobar que ${\displaystyle f}$ é continua se e só se é continua en ${\displaystyle x\in X}$, calquera que sexa este, é dicir, cando sexa continua en cada un dos puntos do seu dominio.

O termo función continua na parte da teoría de conxuntos que se refire aos números ordinais ten un sentido diferente ao referido ás funcións sobre espazos topolóxicos. Concretamente unha función F definida sobre a clase dos números ordinais ${\displaystyle \mathrm {On} }$ é continua se para cada ordinal límite γ se cumpre a seguinte propiedade:

${\displaystyle F(\gamma )=\bigcup \{F(\sigma )|\ \sigma <\gamma ,\ \sigma \in \mathrm {On} \}}$

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Función continua

• Serge Lang (1990): Introdución al análisis Matemático , Wilmington Delaware.
• James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.

• Clasificación de descontinuidades
• Lista de funcións matemáticas
• Derivación
• Continuo
• Continuidade uniforme

• Visual Calculus Arquivado 24 de setembro de 2011 en Wayback Machine. by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001).