Función holomorfa

En matemáticas, unha función holomorfa é unha función complexa dunha ou máis variables complexas que é diferenciable nunha veciñanza en cada punto do seu dominio. A existencia dunha derivada complexa á unha condición moi forte, xa que implica que calquera función holomorfa é realmente infinitamente diferenciable e igual á súa propia serie de Taylor. As funcións holomorfas son o obxecto fundamental da análise complexa.

Aínda que o vocábulo función analítica adoita empregarse de xeito intercambiable con "función holomorfa", a palabra "analítica" defínese nun sentido amplo para denotar calquera función (real, complexa ou máis xeral) que pode ser escrita como serie de potencias converxentes nunha veciñanza de cada punto do seu dominio. O feito de que toda función holomorfa é unha función analítica complexa e viceversa, é un teorema fundamental da análise complexa.^[1]

As funcións holomorfas ás veces son denominadas funcións regulares.^[2] Unha función holomorfa cun dominio que é o plano complexo chámase función enteira. A expresión "holomorfa nun punto z₀" significa non só diferenciable z₀, senón diferenciable dentro dunha veciñanza de z₀ no plano complexo.

Dada unha función complexa f dunha variable complexa, a derivada de f nun punto z₀ no seu dominio está definida polo límite^[3]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}$

Isto é o mesmo que a definición de derivada para funcións reais, agás que todas as cantidades son complexas. En particular, o límite tómase cando o número complexo z se aproxima a z₀, e debe de ter o mesmo valor para cada sucesión de valores complexos para z que se aproxime a z₀ no plano complexo. Se o límite existe, dise que f é complexa-diferenciable en z₀. Este concepto comparte varias propiedades coa diferenciabilidade real: é linear e segue a regra do produto, do cociente e da cadea.^[4]

Se f é complexa diferenciable en cada punto z₀ nun conxunto aberto U, dise que f é holomorfa en U. Dise que f é holomorfa no punto z₀ se é holomorfa nalgunha veciñanza de z₀.^[5] Dise que f é holomorfa nalgún conxunto non aberto A se é holomorfa nun conxunto aberto que contén A.

A relación entre diferenciabilidade real e complexa é a seguinte: se unha función complexa f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) é holomorfa, entón u e v teñen derivadas primeiras parciais con respecto a x e y, e satisfai as ecuacións de Cauchy–Riemann:^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

ou, equivalentemetne, a derivada Wirtinger de f con respecto ao conxugado complexo de z é cero:^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,}$

que equivale a dicir que f é independente funcionalmente do conxugado complexo de z.

Se non se dá a continuidade o contrario non é necesariamente certo. Pola contra, se u e v teñen primeira derivada parcial continua e satisfai as ecuacións de Cauchy–Riemann entón f é holomorfa. Un contrario máis satisfactorio, máis complicado de comprobar é o teorema de Looman–Menchoff: se f é continua, u e v teñen derivadas parciais primeiras (non necesariamente continuas), e satisfán as ecuacións de Cauchy–Riemann, entón f é holomorfa.^[8]

A palabra "holomorfa" foi introducido por dous estudantes de Cauchy, Briot (1817–1882) e Bouquet (1819–1895), e deriva do grego ὅλος (holos) que quere dicir "enteiro", e μορφή (morphē) que significa "forma" ou "aparencia".^[9]

Como a diferenciación complexa é linear e segue as regras do produto, do cociente e da cadea, as sumas, produtos e composicións de funcións holomorfas é holomorfa, e o cociente de dúas funcións holomorfas é holomorfa se o denominador non é cero.^[10]

Se se identifica C con R², entón as funcións holomorfas coinciden coas funcións en dúas variables con derivadas primeiras continuas que solucionan as ecuacións de Cauchy–Riemann, un conxunto de dúas ecuacións en derivadas parciais.^[6]

Todas as funcións holomorfas poden separarse nas súas partes reais e imaxinarias, e cada unha desas é unha solución da ecuación de Laplace sobre R². Noutras palabras, de expresarse unha función holomorfa f(z) como u(x, y) + i v(x, y) ambas as u e v son funcións harmónicas, onde v é o conxugado harmónico de u.^[11]

O teorema integral de Cauchy implica que a integral de liña de cada función holomorfa ao longo dun lazo desaparece:^[12]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

Aquí γ é un camiño rectificable nun subconxunto aberto simplemente conexo U do plano complexo C cun punto inicial que é igual ao punto final e f : U → C é unha función holomorfa.

A fórmula integral de Cauchy afirma que toda función holomorfa nun disco está completamente determinado polos seus valores na fronteira do disco.^[12] Ademais: se se supón que U é un subconxunto aberto de C, f : U → C é unha función holomorfa e o disco pechado D = {z : |z − z₀| ≤ r} está contido completamente en U. Sexa γ o círculo que forma a fronteira de D. Entón para cada a no interior de D:

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}$

onde a integral de contorno tómase no sentido contrario ás agullas do reloxo.

A derivada f′(a) pode escribirse como integral de contorno^[12] empregando a fórmula de diferenciación de Cauchy:

${\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,}$

para cada lazo simple enrolado unha vez arredor de a, e

${\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)d{\bar {z}},}$

para lazos positivos infinitesimais γ arredor de a.

En rexións en que a derivada primeira non é cero, as funcións holomorfas son aplicacións conformes no sentido de que conservan ángulos e formas (mais non tamaños) de figuras pequenas.^[13]

Todas as funcións holomorfas son analíticas. É dicir, unha función holomorfa f ten derivadas de calquera orde en cada punto a do seu dominio, e coincide coa súa propia serie de Taylor en a nunha veciñanza de a. De feito, f coincide coa súa serie de Taylor en a en calquera disco centrado nese punto dentro do dominio da función.

Dende un punto de vista alxébrico, o conxunto de funcións holomorfas dun conxunto aberto é un anel conmutativo e un espazo vectorial complexo.^[7] De feito, é un espazo vectorial topolóxico localmente complexo coa seminorma sendo o supremo dos subconxuntos compactos.

Dende unha perspectiva xeométrica, a función f é holomorfa en z₀ se e só se a súa derivada exterior df nunha veciñanza U de z₀ é igual a f′(z) dz para algunha función continua f′. Séguese a partir de

${\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}$

que df′ tamén é proporcional a dz, implicando que a derivada de f′ é ela mesma holomorfa e así que f é infinitamente diferenciable. De xeito semellante, o feito de que d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 implica que calquera función f que é holomorfa sobre a rexión simplemente conexa U tamén é integrable sobre U. (Para un camiño γ de z₀ a z contido completamente en U, defínese

${\displaystyle \textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }fdz}$;

Segundo o teorema da curva de Jordan e o teorema xeneralizado de Stokes, F_γ(z) é independente da escolla particular do camiño γ, e así F(z) é unha función ben definida sobre U tendo F(z₀) = F₀ e dF = f dz.)

Todas as funcións polinómicas en z con coeficientes complexos son holomrfas sobre C, como o seno, o coseno e a función exponencial. (De feito, as funcións trigonométricas poden definirse a partir da función exponencial empregando a fórmula de Euler). A rama principal da función logaritmo complexo é holomorfa sobre o conxunto C ∖ {z ∈ R : z ≤ 0}. A función raíz cadrada pode definirse como

${\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\log z}}$

e é polo tanto holomorfa en calquera lugar onde está o logaritmo log(z). A función 1/z é holomorfa en {z : z ≠ 0}.

Como consecuencia das ecuacións de Cauchy–Riemann, unha función real holomorfa debe ser constante. Polo tanto, o valor absoluto de z, o argumento de z, a parte real de z e a parte imaxinaria de z non son holomorfas. Outro exemplo típico de función continua que non é holomorfa é o conxugado complexo z.

A definición dunha función holomorfa xeneralízase a varias variables complexas dun xeito directo. Se D denota un subconxunto aberto de Cⁿ, e sexa f : D → C. A función f é analítico nun punto p de D se existe unha veciñanza aberta de p en que f é igual á serie de potencias converxente en n variables complexas.^[14] Defínese f como holomorfas se é analítica en cada punto do seu dominio. O lema de Osgood demostra que para unha función continua f, isto é equivalente a que f sexa holomorfa en cada variable separadamente (significando que se algunha n − 1 coordenadas son fixas, entón a restrición de f é unha función holomorfa para o resto das coordenadas). O teorema de Hartog, moito máis profundo demostra que a hipótese do continuo é innecesaria: f é holomorfa se e só se é holomorfa para cada variable separadamente.

Máis xeralmente, unha función de varias variables complexas que é cadrada integrable sobre todos os subconxuntos compactos do seu dominio é analítica se e só se satisfai as ecuacións de Cauchy–Riemann no sentido das distribucións.

As funcións de varias variables complexas son en certas formas básicas máis complicadas que as funcións dunha variables complexa. Por exemplo, a rexión de converxencia dunha serie de potencias non é necesariamente unha bóla aberta; estas rexións son os dominios de Reinhardt, os exemplos máis simples dos cales é o polidisco. Porén, tamén teñen algunhas restricións fundamentais. A diferenza das funcións dunha variables complexa, os dominios posibles sobre os que hai funcións holomorfas que non poden ser estendidas a dominios máis grandes son altamente limitados. Estes conxuntos chámanse dominios de holomorfía]].

O concepto dunha función holomorfa pode estenderse a espazos infinitodimensionais da análise funcional. Por exemplo, a derivada Fréchet ou a Gâteaux poden empregarse para definir a noción de función holomorfa sobre un espazo de Banach sobre o campo dos números complexos.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (en inglés)